Nos problemas seguintes determine o limite. Use um recurso computacional para fazer os gráficos das funções dadas.
lim x +infty 8 xraiz[4]3 x^4+5

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que calcular o limite quando $ x $ vai para mais infinito da função $ \frac{8x}{\sqrt[4]{3x^4 + 5}} $. Isso está na área de Cálculo, especificamente lidando com limites de funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular essas funções quando $ x $ cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que temos: $ \frac{8x}{\sqrt[4]{3x^4 + 5}} $. Aqui, no numerador, temos $ 8x $, que cresce linearmente com $ x $. No denominador, temos uma raiz quarta de $ 3x^4 + 5 $.

Passo 3

Para simplificar, vamos focar no denominador. A raiz quarta de $ 3x^4 + 5 $ pode ser escrita como $ (3x^4 + 5)^{1/4} $. Quando $ x $ cresce muito, o termo $ 3x^4 $ domina sobre o 5, então podemos aproximar:
3x^4 + 5

Passo 4

Sabemos que $ \sqrt[4]{x^4} = x $, já que estamos considerando $ x $ positivo indo para mais infinito. Portanto, o denominador fica aproximadamente $ \sqrt[4]{3} \cdot x $.

Passo 5

Agora, substituímos essa aproximação na função original:
8xraiz[4]3 cdot x = 8raiz[4]3 cdot xx
Aqui, $ \frac{x}{x} = 1 $, então a expressão simplifica para $ \frac{8}{\sqrt[4]{3}} $.

Passo 6

Portanto, o limite quando $ x $ tende a mais infinito de $ \frac{8x}{\sqrt[4]{3x^4 + 5}} $ é simplesmente $ \frac{8}{\sqrt[4]{3}} $.

Resposta

lim x +infty 8 xraiz[4]3 x^4+5 = 8raiz[4]3

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