Nos problemas seguintes determine o limite. Use um recurso computacional para fazer os gráficos das funções dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem que calcular o limite quando $ x $ vai para mais infinito da função $ \frac{8x}{\sqrt[4]{3x^4 + 5}} $. Isso está na área de Cálculo, especificamente lidando com limites de funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular essas funções quando $ x $ cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função que temos: $ \frac{8x}{\sqrt[4]{3x^4 + 5}} $. Aqui, no numerador, temos $ 8x $, que cresce linearmente com $ x $. No denominador, temos uma raiz quarta de $ 3x^4 + 5 $.
Passo 3
Para simplificar, vamos focar no denominador. A raiz quarta de $ 3x^4 + 5 $ pode ser escrita como $ (3x^4 + 5)^{1/4} $. Quando $ x $ cresce muito, o termo $ 3x^4 $ domina sobre o 5, então podemos aproximar:
Passo 4
Sabemos que $ \sqrt[4]{x^4} = x $, já que estamos considerando $ x $ positivo indo para mais infinito. Portanto, o denominador fica aproximadamente $ \sqrt[4]{3} \cdot x $.
Passo 5
Agora, substituímos essa aproximação na função original:
Aqui, $ \frac{x}{x} = 1 $, então a expressão simplifica para $ \frac{8}{\sqrt[4]{3}} $.
Passo 6
Portanto, o limite quando $ x $ tende a mais infinito de $ \frac{8x}{\sqrt[4]{3x^4 + 5}} $ é simplesmente $ \frac{8}{\sqrt[4]{3}} $.