Nos problemas seguintes encontrar
usando regra da cadeia
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
(a derivada de
em relação a
) sabendo que
Informações relevantes:
A tarefa é aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis (ou, se preferir, simplificar algebricamente e derivar), e obter uma expressão para
. Observação sobre domínio: as expressões com
exigem
; quando for preciso usar
e
escrevemos fórmulas válidas para
, mas depois veremos que o resultado vale para todo
.
Passo 2
Vou explicar a regra da cadeia que vamos usar (passo-a-passo e devagar, tipo conversa de amigo).
Se depende de
e
, e
e
dependem de
, a derivada de
em relação a
é dada por
Se
O que isso significa:
-
é a derivada parcial de em relação a , tratando como constante. -
é a derivada parcial de em relação a , tratando como constante. -
e são as derivadas das funções e .
Intuitivamente: mudanças emprovocam mudanças em e em ; a variação total de é a soma das contribuições via e via .
Passo 3
Calcule as derivadas parciais de
.
Ao derivar em relação a (mantendo
fixo) obtemos
Ao derivar em relação a
porque o produto
visto como função de
é
vezes
.
Ao derivar em relação a (mantendo
fixo) obtemos
Ao derivar em relação a
Estas são fáceis e importantes: para
as parciais trocam as letras.
Passo 4
Agora calcule
e
. Lembre que
e
válido para
. Então:
Observação técnica: em
a derivada de
não é finita, portanto a expressão individual de
e
com
só faz sentido para
. Porém vamos ver que a combinação na regra da cadeia simplifica muito e resulta numa expressão válida também em
.
Passo 5
Aplique a fórmula da regra da cadeia com os resultados anteriores:
Colocando em evidência
:
Passo 6
Calcule
usando as definições dadas:
Substituindo em
obtemos
válido para
. Note a bela simplificação: o
cancela e sobra uma constante.
Passo 7
Verificação alternativa (truque simples que eu sempre faço para checar): multiplicar direto
Agora derivando diretamente em relação a
,
esta forma mostra que o resultado
vale mesmo em
(e para todo
no domínio
). Portanto as duas abordagens concordam — a regra da cadeia dá
após simplificar, e a simplificação algébrica dá
de cara.