Nos problemas seguintes encontrar d f / d t usando regra da cadeia
f=x y, x=1-\sqrt{t}, y=1+\sqrt{t}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar d f / d t (a derivada de f em relação a t) sabendo que
f = x y,\qquad x = 1 - \sqrt{t},\qquad y = 1 + \sqrt{t}.
Informações relevantes:
\text{Função composta: } f(t) = f\big(x(t),y(t)\big) = x(t)\,y(t).çã
A tarefa é aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis (ou, se preferir, simplificar algebricamente e derivar), e obter uma expressão para df/dt. Observação sobre domínio: as expressões com \sqrt{t} exigem t\ge 0; quando for preciso usar dx/dt e dy/dt escrevemos fórmulas válidas para t>0, mas depois veremos que o resultado vale para todo t\ge 0.

Passo 2

Vou explicar a regra da cadeia que vamos usar (passo-a-passo e devagar, tipo conversa de amigo).
Se f depende de x e y, e x e y dependem de t, a derivada de f em relação a t é dada por
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{d y}{d t}.
O que isso significa:
  • \partial f/\partial x é a derivada parcial de f em relação a x, tratando y como constante.
  • \partial f/\partial y é a derivada parcial de f em relação a y, tratando x como constante.
  • \,dx/dt e \,dy/dt são as derivadas das funções x(t) e y(t).
    Intuitivamente: mudanças em t provocam mudanças em x e em y; a variação total de f é a soma das contribuições via x e via y.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de f(x,y)=x y.
Ao derivar em relação a x (mantendo y fixo) obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=y,
porque o produto x y visto como função de x é y vezes x.
Ao derivar em relação a y (mantendo x fixo) obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}=x.
Estas são fáceis e importantes: para f=x y as parciais trocam as letras.

Passo 4

Agora calcule dx/dt e dy/dt. Lembre que \sqrt{t}=t^{1/2} e
\frac{d}{dt}\big(t^{1/2}\big)=\frac{1}{2}t^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{t}},
válido para t>0. Então:
\frac{d x}{d t}=\frac{d}{dt}\big(1-\sqrt{t}\big)=-\frac{1}{2\sqrt{t}},
\frac{d y}{d t}=\frac{d}{dt}\big(1+\sqrt{t}\big)=\frac{1}{2\sqrt{t}}.
Observação técnica: em t=0 a derivada de \sqrt{t} não é finita, portanto a expressão individual de dx/dt e dy/dt com \frac{1}{2\sqrt{t}} só faz sentido para t>0. Porém vamos ver que a combinação na regra da cadeia simplifica muito e resulta numa expressão válida também em t=0.

Passo 5

Aplique a fórmula da regra da cadeia com os resultados anteriores:
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{d y}{d t} = y\left(-\frac{1}{2\sqrt{t}}\right)+x\left(\frac{1}{2\sqrt{t}}\right).
Colocando em evidência \frac{1}{2\sqrt{t}}:
\frac{d f}{d t}=\frac{x-y}{2\sqrt{t}}.

Passo 6

Calcule x-y usando as definições dadas:
x-y=(1-\sqrt{t})-(1+\sqrt{t})=-2\sqrt{t}.
Substituindo em \dfrac{x-y}{2\sqrt{t}} obtemos
\frac{d f}{d t}=\frac{-2\sqrt{t}}{2\sqrt{t}}=-1,
válido para t>0. Note a bela simplificação: o \sqrt{t} cancela e sobra uma constante.

Passo 7

Verificação alternativa (truque simples que eu sempre faço para checar): multiplicar direto
f=(1-\sqrt{t})(1+\sqrt{t})=1-(\sqrt{t})^2=1-t.
Agora derivando diretamente em relação a t,
\frac{d f}{d t}=\frac{d}{dt}(1-t)=-1,
esta forma mostra que o resultado -1 vale mesmo em t=0 (e para todo t no domínio t\ge 0). Portanto as duas abordagens concordam — a regra da cadeia dá -1 após simplificar, e a simplificação algébrica dá -1 de cara.

Resposta

-1

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