Nos problemas seguintes encontrar d f / d t usando regra da cadeia
f=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, x=t, y=t^{2}.

Passo 1

O que o problema pede e quais são os dados.
O enunciado pede para encontrar \dfrac{d f}{d t} usando a regra da cadeia, com as seguintes informações:
f=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad x=t,\qquad y=t^{2}.
Ou seja: a função f é dada em termos de duas variáveis x e y, e essas variáveis são funções de t. Nosso objetivo é achar a derivada de f em relação a t.

Passo 2

Explicando a regra da cadeia (caso multivariável) de forma didática.
Quando f depende de x e y, e x e y dependem de t, a derivada total de f em relação a t é dada pela regra da cadeia multivariável:
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{d y}{d t}.
O sentido dessa fórmula: pequenas mudanças em t mudam x e y; a contribuição de cada uma dessas mudanças para f é o produto da sensibilidade de f a essa variável (o parcial) pela rapidez com que a variável muda com t (a derivada da variável). Somando as contribuições obtém-se a variação total de f com t.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y.
Primeiro reescrevo f de forma conveniente:
f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{1/2}.
Usamos a regra da cadeia (agora para funções escalares internas) para derivar em relação a x e a y.
Derivando em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Derivando em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2y=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Explicação curta: derivamos (\cdot)^{1/2} como \tfrac{1}{2}(\cdot)^{-1/2} e multiplicamos pela derivada do interior 2x ou 2y.

Passo 4

Calcular \dfrac{d x}{d t} e \dfrac{d y}{d t}.
Como foram dados x=t e y=t^{2}, temos:
\frac{d x}{d t}=1,\qquad \frac{d y}{d t}=2t.
Isso é direto: derivada de t é 1; derivada de t^{2} é 2t.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia e montar a expressão antes de substituir x e y.
Usando
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{d y}{d t},
substituímos as parciais e as derivadas de x,y:
\frac{d f}{d t}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot 1+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot 2t =\frac{x+2t\,y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 6

Substituir x=t e y=t^{2} e simplificar a expressão.
Substituindo:
\frac{d f}{d t}=\frac{t+2t\cdot t^{2}}{\sqrt{t^{2}+t^{4}}} =\frac{t+2t^{3}}{\sqrt{t^{2}+t^{4}}}.
Fatorando t no numerador e t^{2} dentro da raiz:
\frac{d f}{d t}=\frac{t(1+2t^{2})}{\sqrt{t^{2}(1+t^{2})}} =\frac{t(1+2t^{2})}{|t|\sqrt{1+t^{2}}}.
Aqui usei \sqrt{t^{2}(1+t^{2})}=\sqrt{t^{2}}\sqrt{1+t^{2}}=|t|\sqrt{1+t^{2}}. É importante lembrar do valor absoluto: \sqrt{t^{2}}=|t|.

Passo 7

Interpretar a expressão final, tratar [t\neq 0) e o caso t=0.
Para t\neq 0 podemos simplificar t/|t| como o sinal de t, isto é t/|t|=\operatorname{sgn}(t). Assim, para t\neq 0:
\frac{d f}{d t}=\operatorname{sgn}(t)\,\frac{1+2t^{2}}{\sqrt{1+t^{2}}}.
Escrevendo em forma em pedaços:
\frac{d f}{d t}=\begin{cases} \dfrac{1+2t^{2}}{\sqrt{1+t^{2}}}, & t>0,\\[6pt] -\dfrac{1+2t^{2}}{\sqrt{1+t^{2}}}, & t<0. \end{cases}
No ponto t=0\] precisamos verificar se a derivada existe. Observando \(f(t)=\sqrt{t^{2}+t^{4}}=|t|\sqrt{1+t^{2}}, ao calcular o quociente diferencial quando t\to 0^{+} obtemos \sqrt{1+0}=1, e quando t\to 0^{-} obtemos -1. Como as derivadas laterais são diferentes, a derivada em t=0 não existe.]

Resposta

\frac{d f}{d t}=\begin{cases} \dfrac{1+2t^{2}}{\sqrt{1+t^{2}}}, & t>0,\\[6pt] -\dfrac{1+2t^{2}}{\sqrt{1+t^{2}}}, & t<0,\\[6pt] \text{não existe}, & t=0. \end{cases}ã]

Exercícios relacionados