Nos problemas seguintes encontrar d f / d t usando regra da cadeia f=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, x=t, y=t^{2}.
Passo 1
O que o problema pede e quais são os dados.
O enunciado pede para encontrar \dfrac{d f}{d t} usando a regra da cadeia, com as seguintes informações:
f=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad x=t,\qquad y=t^{2}.
Ou seja: a função f é dada em termos de duas variáveis x e y, e essas variáveis são funções de t. Nosso objetivo é achar a derivada de f em relação a t.
Passo 2
Explicando a regra da cadeia (caso multivariável) de forma didática.
Quando f depende de x e y, e x e y dependem de t, a derivada total de f em relação a t é dada pela regra da cadeia multivariável:
O sentido dessa fórmula: pequenas mudanças em t mudam x e y; a contribuição de cada uma dessas mudanças para f é o produto da sensibilidade de f a essa variável (o parcial) pela rapidez com que a variável muda com t (a derivada da variável). Somando as contribuições obtém-se a variação total de f com t.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y.
Primeiro reescrevo f de forma conveniente:
f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{1/2}.
Usamos a regra da cadeia (agora para funções escalares internas) para derivar em relação a x e a y.
No ponto t=0\] precisamos verificar se a derivada existe. Observando \(f(t)=\sqrt{t^{2}+t^{4}}=|t|\sqrt{1+t^{2}}, ao calcular o quociente diferencial quando t\to 0^{+} obtemos \sqrt{1+0}=1, e quando t\to 0^{-} obtemos -1. Como as derivadas laterais são diferentes, a derivada em t=0 não existe.]