Nos problemas seguintes encontrar d f / d t usando regra da cadeia
f=x / y, x=e^{t}, y=2 e^{t}.

Passo 1

O enunciado dá a função f em termos de duas variáveis x e y e fornece x e y como funções de t. O que nos pedem é calcular a derivada temporal de f, ou seja \dfrac{df}{dt}. Dados fornecidos:
f=\frac{x}{y},\qquad x=e^{t},\qquad y=2e^{t}.
Pergunta: encontrar \dfrac{df}{dt}.

Passo 2

Regra da cadeia para funções de várias variáveis (explicação didática). Se f depende de x e y, e tanto x quanto y dependem de t, então a variação de f com respeito a t recebe contribuições das variações de x e de y. A fórmula é:
\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Aqui \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x (tratando y como constante), \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante), e \dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt} são as derivadas de x(t) e y(t). Essa fórmula é a regra da cadeia no caso de f(x(t),y(t)).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\dfrac{x}{y}. É útil reescrever f como f(x,y)=x\,y^{-1}. Assim:
\frac{\partial f}{\partial x}=y^{-1}=\frac{1}{y},
porque derivando x em x\,y^{-1} temos 1\cdot y^{-1} (tratando y como constante). E
\frac{\partial f}{\partial y}=x\cdot\frac{d}{dy}\big(y^{-1}\big)=x\cdot(-1)y^{-2}=-\frac{x}{y^{2}}.
Explicando devagar: ao derivar y^{-1} em relação a y usamos a regra da potência \dfrac{d}{dy}y^{n}=n y^{n-1} com n=-1.

Passo 4

Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} a partir de x=e^{t} e y=2e^{t}. Sabemos que a derivada de e^{t} é e^{t}. Portanto:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}e^{t}=e^{t},
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\big(2e^{t}\big)=2\frac{d}{dt}e^{t}=2e^{t}.
Aqui tratamos a constante 2 como fator multiplicativo.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia substituindo as parciais e as derivadas temporais:
\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} =\frac{1}{y}\,e^{t}+\left(-\frac{x}{y^{2}}\right)\,2e^{t}.
Isso é só colocar os resultados de \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt}.

Passo 6

Agora substituir x=e^{t} e y=2e^{t} dentro da expressão obtida e simplificar passo a passo:
Primeiro termo:
\frac{1}{y}\,e^{t}=\frac{1}{2e^{t}}\,e^{t}=\frac{1}{2}.
Segundo termo:
\left(-\frac{x}{y^{2}}\right)\,2e^{t}=-2e^{t}\cdot\frac{x}{y^{2}}
substituindo x=e^{t} e y=2e^{t}:
-2e^{t}\cdot\frac{e^{t}}{(2e^{t})^{2}}=-2e^{t}\cdot\frac{e^{t}}{4e^{2t}}=-2e^{t}\cdot\frac{1}{4e^{t}}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}.
Detalhe da simplificação: (2e^{t})^{2}=4e^{2t}, e e^{t}\cdot e^{t}=e^{2t}, que cancela com o denominador e^{2t}.

Passo 7

Somando os dois termos obtidos:
\frac{df}{dt}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)=0.
Como verificação rápida (intuição): se substituirmos x e y direto em f,
f=\frac{x}{y}=\frac{e^{t}}{2e^{t}}=\frac{1}{2},
que é uma constante em t, portanto sua derivada em relação a t deve mesmo ser zero — isso confirma o resultado da regra da cadeia.

Resposta

\dfrac{df}{dt}=0

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