Nos problemas seguintes encontrar
usando regra da cadeia
.
Passo 1
O enunciado dá a função
em termos de duas variáveis
e
e fornece
e
como funções de
. O que nos pedem é calcular a derivada temporal de
, ou seja
. Dados fornecidos:
Pergunta: encontrar
.
Passo 2
Regra da cadeia para funções de várias variáveis (explicação didática). Se
depende de
e
, e tanto
quanto
dependem de
, então a variação de
com respeito a
recebe contribuições das variações de
e de
. A fórmula é:
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante),
é a derivada parcial em relação a
(tratando
como constante), e
são as derivadas de
e
. Essa fórmula é a regra da cadeia no caso de
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. É útil reescrever
como
. Assim:
porque derivando
em
temos
(tratando
como constante). E
Explicando devagar: ao derivar
em relação a
usamos a regra da potência
com
.
Passo 4
Calcular
e
a partir de
e
. Sabemos que a derivada de
é
. Portanto:
Aqui tratamos a constante
como fator multiplicativo.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia substituindo as parciais e as derivadas temporais:
Isso é só colocar os resultados de
,
,
e
.
Passo 6
Agora substituir
e
dentro da expressão obtida e simplificar passo a passo:
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
substituindo
e
:
Detalhe da simplificação:
, e
, que cancela com o denominador
.
Passo 7
Somando os dois termos obtidos:
Como verificação rápida (intuição): se substituirmos
e
direto em
,
que é uma constante em
, portanto sua derivada em relação a
deve mesmo ser zero — isso confirma o resultado da regra da cadeia.