Nos problemas seguintes encontrar
usando regra da cadeia
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Função:
. - Relações entre
e : e . - O que pedir: encontrar
(a derivada de em relação a ).
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A fórmula geral, quando
depende de
e
e ambos dependem de
, é
Explicando cada termo:
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo;
é a derivada de
em relação a
; e o segundo termo é análogo para
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
.
A regra para derivar é
. Aqui
. Então, ao derivar parcialmente em relação a
(tratando
como constante),
A regra para derivar
De modo idêntico, ao derivar parcialmente em relação a
,
(Explicação rápida: derivar
em relação a
dá
multiplicado por a derivada de
em relação a
, que é
. Mesma coisa para
.)
Passo 4
Agora calculemos
e
usando
e
.
A derivada de em relação a
é
. Portanto
A derivada de
Passo 5
Substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:
Aqui juntamos os dois termos semelhantes.
Passo 6
Usamos as expressões dadas para
e
(peguei esses valores do enunciado:
e
) para simplificar:
Substituindo em
obtemos
Logo
.
Passo 7
Verificação alternativa (mais direta, só para você ver que bate): substitua
e
em
:
Derivando em relação a
vem imediatamente
. Confere com o resultado anterior.