Nos problemas seguintes encontrar d f / d t usando regra da cadeia
f=\ln (x+y), x=e^{t}, y=e^{t}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Função: f=\ln(x+y).
  • Relações entre x,y e t: x=e^{t} e y=e^{t}.
  • O que pedir: encontrar \dfrac{df}{dt} (a derivada de f em relação a t).

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A fórmula geral, quando f depende de x e y e ambos dependem de t, é
\dfrac{df}{dt}=\dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}.
Explicando cada termo: \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x mantendo y fixo; \dfrac{dx}{dt} é a derivada de x em relação a t; e o segundo termo é análogo para y.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=\ln(x+y).
A regra para derivar \ln(u) é \dfrac{d}{du}\ln(u)=\dfrac{1}{u}. Aqui u=x+y. Então, ao derivar parcialmente em relação a x (tratando y como constante),
\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{1}{x+y}.
De modo idêntico, ao derivar parcialmente em relação a y,
\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{1}{x+y}.
(Explicação rápida: derivar \ln(x+y) em relação a x 1/(x+y) multiplicado por a derivada de x+y em relação a x, que é 1. Mesma coisa para y.)

Passo 4

Agora calculemos \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} usando x=e^{t} e y=e^{t}.
A derivada de e^{t} em relação a t é e^{t}. Portanto
\dfrac{dx}{dt}=e^{t},\qquad \dfrac{dy}{dt}=e^{t}.

Passo 5

Substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:
\dfrac{df}{dt}=\dfrac{1}{x+y}\cdot e^{t}+\dfrac{1}{x+y}\cdot e^{t}=\dfrac{2e^{t}}{x+y}.
Aqui juntamos os dois termos semelhantes.

Passo 6

Usamos as expressões dadas para x e y (peguei esses valores do enunciado: x=e^{t} e y=e^{t}) para simplificar:
x+y=e^{t}+e^{t}=2e^{t}.
Substituindo em \dfrac{2e^{t}}{x+y} obtemos
\dfrac{2e^{t}}{2e^{t}}=1.
Logo \dfrac{df}{dt}=1.

Passo 7

Verificação alternativa (mais direta, só para você ver que bate): substitua x e y em f:
f(t)=\ln(e^{t}+e^{t})=\ln(2e^{t})=\ln 2 + t.
Derivando em relação a t vem imediatamente \dfrac{df}{dt}=1. Confere com o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{df}{dt}=1

Exercícios relacionados