Nos problemas seguintes, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+9 \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 9\,\frac{dy}{dx} = 0
O conteúdo que vamos usar é o método da equação característica para resolver equações diferenciais desse tipo.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo exponential y = e^{r x}. Substituindo em
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 9\,\frac{dy}{dx} = 0
temos
r^{2}e^{r x} + 9\,r\,e^{r x} = 0.
Como e^{r x}\neq 0, ficamos com a equação característica.

Passo 3

A equação característica é
r^{2} + 9r = 0.
Fatorando, obtemos
r(r + 9)=0
logo as raízes são
r_{1}=0 \quad\text{e}\quad r_{2}=-9.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_{1}\,e^{r_{1}x} + C_{2}\,e^{r_{2}x} = C_{1}\,e^{0\cdot x} + C_{2}\,e^{-9x} = C_{1} + C_{2}\,e^{-9x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C_{1} + C_{2}\,e^{-9x}.

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