Nos problemas seguintes, use a diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes.
[15.]
; família de soluções,
[15.]
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais, e fornece uma família de funções que devemos verificar. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
- Família proposta de soluções:
onde e são constantes arbitrárias.
O que pedir? Dois objetivos:
- Mostrar, por diferenciação, que a função dada satisfaz
para todos os valores das constantes e . - Usar as condições iniciais para determinar os valores de
e que atendem o problema inicial e escrever a solução particular.
Passo 2
Revisão rápida das regras de diferenciação que vou usar (para quem está meio perdido, é só isso):
-
. -
. -
e . - A derivada é linear: a derivada da soma é a soma das derivadas, e constantes fatoram.
Com isso em mente, vou derivar
uma e duas vezes.
Passo 3
Calcular
derivando termo a termo:
Aplicando as regras:
Como
e
são constantes,
Portanto
Passo 4
Calcular
derivando
:
Derivando termo a termo:
Passo 5
Agora formo
e verifico se dá
:
Agrupando termos iguais:
Todos os termos com
e
se cancelam e os constantes também, sobrando
Conclusão: a função
satisfaz a equação
para quaisquer valores das constantes
e
. Isso mostra a parte pedida: a família é solução para todos os
.
Passo 6
Agora uso as condições iniciais para achar
e
.
Avalio
. Como
e
e
,
A condição
dá
Avalio
. Usando a expressão de
e
,
A condição
dá
Passo 7
Substituindo
e
na família, obtemos a solução particular do problema inicial:
Resposta
A família
satisfaz
para quaisquer
.
Com as condições iniciais tem-se
e
Com as condições iniciais