Nos problemas seguintes, use a diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes.
[15.]
x^{\prime \prime}+x=t^{2}, x(0)=0, x^{\prime}(0)=1; família de soluções, x(t)=C \cos (t)+D \operatorname{sen}(t)+t^{2}-2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais, e fornece uma família de funções que devemos verificar. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
  • Equação diferencial: x'' + x = t^{2}.
  • Condições iniciais: x(0)=0,\qquad x'(0)=1.
  • Família proposta de soluções: x(t)=C\cos(t)+D\sin(t)+t^{2}-2, onde C e D são constantes arbitrárias.
O que pedir? Dois objetivos:
  1. Mostrar, por diferenciação, que a função dada satisfaz x''+x=t^{2} para todos os valores das constantes C e D.
  2. Usar as condições iniciais para determinar os valores de C e D que atendem o problema inicial e escrever a solução particular.

Passo 2

Revisão rápida das regras de diferenciação que vou usar (para quem está meio perdido, é só isso):
  • \frac{d}{dt}\cos(t)=-\sin(t).
  • \frac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t).
  • \frac{d}{dt}(t^{2})=2t e \frac{d^{2}}{dt^{2}}(t^{2})=2.
  • A derivada é linear: a derivada da soma é a soma das derivadas, e constantes fatoram.
Com isso em mente, vou derivar x(t) uma e duas vezes.

Passo 3

Calcular x'(t) derivando termo a termo:
x(t)=C\cos(t)+D\sin(t)+t^{2}-2.
Aplicando as regras:
x'(t)=\frac{d}{dt}\big(C\cos(t)\big)+\frac{d}{dt}\big(D\sin(t)\big)+\frac{d}{dt}(t^{2})-\frac{d}{dt}2.
Como C e D são constantes,
x'(t)=-C\sin(t)+D\cos(t)+2t+0.
Portanto
x'(t)=-C\sin(t)+D\cos(t)+2t.

Passo 4

Calcular x''(t) derivando x'(t):
x'(t)=-C\sin(t)+D\cos(t)+2t.
Derivando termo a termo:
x''(t)=-C\cos(t)-D\sin(t)+2.

Passo 5

Agora formo x''(t)+x(t) e verifico se dá t^{2}:
x''(t)+x(t)=\big(-C\cos(t)-D\sin(t)+2\big)+\big(C\cos(t)+D\sin(t)+t^{2}-2\big).
Agrupando termos iguais:
x''(t)+x(t)=\big(-C\cos(t)+C\cos(t)\big)+\big(-D\sin(t)+D\sin(t)\big)+(2-2)+t^{2}.
Todos os termos com C e D se cancelam e os constantes também, sobrando
x''(t)+x(t)=t^{2}.
Conclusão: a função x(t)=C\cos(t)+D\sin(t)+t^{2}-2 satisfaz a equação x''+x=t^{2} para quaisquer valores das constantes C e D. Isso mostra a parte pedida: a família é solução para todos os C,D.

Passo 6

Agora uso as condições iniciais para achar C e D.
Avalio x(0). Como \cos(0)=1 e \sin(0)=0 e 0^{2}=0,
x(0)=C\cos(0)+D\sin(0)+0-2 = C-2.
A condição x(0)=0
C-2=0 \quad\Rightarrow\quad C=2.
Avalio x'(0). Usando a expressão de x'(t) e \sin(0)=0,\\ \cos(0)=1,
x'(0)=-C\sin(0)+D\cos(0)+2\cdot 0 = D.
A condição x'(0)=1
D=1.

Passo 7

Substituindo C=2 e D=1 na família, obtemos a solução particular do problema inicial:
x(t)=2\cos(t)+\sin(t)+t^{2}-2.

Resposta

A família x(t)=C\cos(t)+D\sin(t)+t^{2}-2 satisfaz \;x''+x=t^{2} para quaisquer C,D.
Com as condições iniciais x(0)=0,\\ x'(0)=1 tem-se C=2,\\ D=1 e
x(t)=2\cos(t)+\sin(t)+t^{2}-2.

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