Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções:
h(x)=\left(e^{x} \cdot \cos x-x^{2}\right)^{4}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Está dada a função \;h(x)=\bigl(e^{x}\cdot\cos x - x^{2}\bigr)^{4}.
  • O objetivo é calcular a derivada \;h'(x) (ou \dfrac{dh}{dx}).
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é uma composição: uma potência quarta aplicada à expressão interna \;e^{x}\cos x - x^{2}.
  • A expressão interna tem um produto \;e^{x}\cdot\cos x e um termo polinomial \;-x^{2}.

Passo 2

Idéia geral do método (sem resolver ainda) e explicação do que vamos usar.
  • Quando temos uma função composta do tipo \;h(x)=v\bigl(u(x)\bigr), a regra para derivar é a regra da cadeia. Em forma de fórmula:
\frac{d}{dx}v\bigl(u(x)\bigr)=v'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui:
  • u(x) é a função interna (aquela que entra em v);
  • v(t) é a função externa, escrita com a variável genérica t;
  • v'(u(x)) significa primeiro derivar v em relação a t e depois avaliar em t=u(x);
  • u'(x) é a derivada da função interna em relação a x.
  • No nosso caso é natural escolher
u(x)=e^{x}\cos x - x^{2}, \qquad v(t)=t^{4}.
Portanto vamos aplicar a regra da cadeia com essas funções.

Passo 3

Derivar a função externa v(t)=t^{4} (regra do poder).
  • A regra do poder diz que, para \;v(t)=t^{n} com n constante, vale
v'(t)=n\,t^{n-1}.
Esta regra é usada com t como variável qualquer.
  • Aplicando com n=4:
v'(t)=4t^{3}.
  • Avaliando em t=u(x) obtemos
v'\bigl(u(x)\bigr)=4\bigl(u(x)\bigr)^{3}=4\bigl(e^{x}\cos x - x^{2}\bigr)^{3}.

Passo 4

Derivar a função interna \;u(x)=e^{x}\cos x - x^{2}.
  • A derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas, então derivamos termo a termo.
  • Primeiro termo: \;p(x)=e^{x}\cos x. Aqui há um produto de duas funções; usamos a regra do produto.
    • Regra do produto: para p(x)=a(x)b(x),
    p'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x).
    • Identificando a(x)=e^{x} e b(x)=\cos x:
      • a'(x)=\dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
      • b'(x)=\dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
    • Aplicando a regra do produto:
    \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\cos x\bigr)=e^{x}\cos x + e^{x}\cdot(-\sin x)=e^{x}\bigl(\cos x - \sin x\bigr).
  • Segundo termo: \;-x^{2}. Usando novamente a regra do poder com n=2,
\frac{d}{dx}\bigl(-x^{2}\bigr)=-2x.
  • Somando as derivadas dos dois termos:
u'(x)=e^{x}\bigl(\cos x - \sin x\bigr) - 2x.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia combinando os resultados.
  • Pela regra da cadeia (Passo 2) temos
h'(x)=v'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
  • Substituindo v'\bigl(u(x)\bigr) do Passo 3 e u'(x) do Passo 4:
h'(x)=4\bigl(e^{x}\cos x - x^{2}\bigr)^{3}\cdot\bigl(e^{x}(\cos x - \sin x) - 2x\bigr).

Passo 6

Comentário final curto e uma forma alternativa (opcional) de escrever.
  • A forma acima já é adequada para a prova. Se quiser, pode distribuir ou fatorar e^{x} no segundo fator, mas isso não simplifica muito o aspecto geral.

Resposta

h'(x)=4\bigl(e^{x}\cos x - x^{2}\bigr)^{3}\bigl(e^{x}(\cos x - \sin x) - 2x\bigr)

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