Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Está dada a função
. - O objetivo é calcular a derivada
(ou ).
Informações relevantes do enunciado:
- A função é uma composição: uma potência quarta aplicada à expressão interna
. - A expressão interna tem um produto
e um termo polinomial .
Passo 2
Idéia geral do método (sem resolver ainda) e explicação do que vamos usar.
- Quando temos uma função composta do tipo
, a regra para derivar é a regra da cadeia. Em forma de fórmula:
Aqui:
-
é a função interna (aquela que entra em ); -
é a função externa, escrita com a variável genérica ; -
significa primeiro derivar em relação a e depois avaliar em ; -
é a derivada da função interna em relação a . -
No nosso caso é natural escolher
Portanto vamos aplicar a regra da cadeia com essas funções.
Passo 3
Derivar a função externa
(regra do poder).
- A regra do poder diz que, para
com constante, vale
Esta regra é usada com
como variável qualquer.
- Aplicando com
:
- Avaliando em
obtemos
Passo 4
Derivar a função interna
.
-
A derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas, então derivamos termo a termo.
-
Primeiro termo:
. Aqui há um produto de duas funções; usamos a regra do produto. - Regra do produto: para
,
- Identificando
e : -
. -
.
-
- Aplicando a regra do produto:
- Regra do produto: para
-
Segundo termo:
. Usando novamente a regra do poder com ,
- Somando as derivadas dos dois termos:
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia combinando os resultados.
- Pela regra da cadeia (Passo 2) temos
- Substituindo
do Passo 3 e do Passo 4:
Passo 6
Comentário final curto e uma forma alternativa (opcional) de escrever.
- A forma acima já é adequada para a prova. Se quiser, pode distribuir ou fatorar
no segundo fator, mas isso não simplifica muito o aspecto geral.