Nos problemas a seguir, ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre a qual a solução geral está definida. Determine se há termos transientes na solução geral.
\left(x^{2}-1\right) \frac{d y}{d x}+2 y=(x+1)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede três coisas:
  • Encontrar a solução geral de \left(x^{2}-1\right)\dfrac{d y}{d x}+2 y=(x+1)^{2}.
  • Indicar o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.
  • Determinar se há termos transientes na solução geral.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação é de primeira ordem e linear em y.
  • O coeficiente multiplicando dy/dx é x^{2}-1, que se anula em x=\pm 1. Portanto a equação não é regular nesses pontos e qualquer solução geral deve ser considerada em intervalos que não contenham \pm 1.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
\dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Dividindo a equação original por x^{2}-1 (valendo apenas onde x^{2}-1\neq0) obtemos
\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{2}{x^{2}-1}\,y=\dfrac{(x+1)^{2}}{x^{2}-1}.
Assim temos
P(x)=\dfrac{2}{x^{2}-1},\qquad Q(x)=\dfrac{(x+1)^{2}}{x^{2}-1}.

Passo 3

Método do fator integrante (explicação didática):
  • Para a equação \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) toma-se o fator integrante \mu(x)=\exp\!\left(\displaystyle\int P(x)\,dx\right).
  • Multiplicando a equação por \mu(x) obtém-se \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)Q(x).
  • Integra-se ambos os lados para achar \mu(x)y, e daí y.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x). Primeiro integrando P(x):
P(x)=\dfrac{2}{x^{2}-1}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}.
Encontrando A,B: multiplicando por (x-1)(x+1) 2=A(x+1)+B(x-1). Igualando coeficientes ou substituindo valores, obtém-se A=1 e B=-1. Logo
\dfrac{2}{x^{2}-1}=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}.
Integrando:
\int P(x)\,dx=\int\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right)dx=\ln|x-1|-\ln|x+1|=\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|.
Portanto
\mu(x)=\exp\!\left(\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|\right)=\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|.
Observação prática: em cada intervalo onde \dfrac{x-1}{x+1} tem sinal fixo pode-se tomar \mu(x)=\dfrac{x-1}{x+1} (o sinal absoluto pode ser incorporado na constante de integração posterior).

Passo 5

Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=\dfrac{x-1}{x+1}. Usando a propriedade do fator integrante:
\frac{d}{dx}\!\left(\mu(x)y\right)=\mu(x)Q(x).
Calcule o lado direito explicitamente:
\mu(x)Q(x)=\dfrac{x-1}{x+1}\cdot\dfrac{(x+1)^{2}}{x^{2}-1}.
Lembrando que x^{2}-1=(x-1)(x+1), simplifica-se:
\mu(x)Q(x)=\dfrac{x-1}{x+1}\cdot\dfrac{(x+1)^{2}}{(x-1)(x+1)}=1.
Portanto a equação reduz-se a
\frac{d}{dx}\!\left(\mu(x)y\right)=1.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
\mu(x)y=\int 1\,dx = x + C,
onde C é constante arbitrária de integração. Substituindo \mu(x)=\dfrac{x-1}{x+1} e isolando y,
y(x)=\dfrac{x+C}{\mu(x)}=(x+C)\cdot\dfrac{x+1}{x-1}.

Passo 7

Escrever a solução de forma que separe a parte particular e a homogênea (isto ajuda a identificar termos transientes):
y(x)=(x+C)\dfrac{x+1}{x-1}=\underbrace{\dfrac{x(x+1)}{x-1}}_{y_{p}(x)} \;+\; \underbrace{C\,\dfrac{x+1}{x-1}}_{y_{h}(x)}.
Aqui y_{p}(x)=\dfrac{x(x+1)}{x-1} é uma solução particular e y_{h}(x)=\dfrac{x+1}{x-1} é a solução geral da homogênea multiplicada pela constante C.

Passo 8

Determinar o maior intervalo I onde a solução geral está definida:
  • A equação (e o fator integrante) são singular em x=\pm 1. Assim a solução geral válida e contínua não pode cruzar esses pontos.
  • Os maiores intervalos conectados onde a solução é válida são
(-\infty,-1),\qquad (-1,1),\qquad (1,\infty).
Em cada um desses intervalos a expressão y(x)=(x+C)\dfrac{x+1}{x-1} descreve a família de soluções (com constantes C possivelmente diferentes em cada intervalo).

Passo 9

Determinar se há termos transientes:
  • O termo que envolve a constante arbitrária C é y_{h}(x)=C\,\dfrac{x+1}{x-1}. Esse é o chamado termo homogêneo (ou “transiente” se o contexto for evolução temporal).
  • Observando o comportamento para grandes |x|: \dfrac{x+1}{x-1}\to 1 quando x\to\pm\infty. Portanto esse termo não tende para zero em (1,\infty) nem em (-\infty,-1); tende para uma constante multiplicada por C. No intervalo (-1,1) ele é singular ao aproximar-se de \pm 1. Assim:
    • Sim, existe um termo homogêneo (dependente da constante C), mas ele não é um termo que decai para zero quando x\to\infty; logo não é um “transiente” que desaparece em infinito. Em suma: há um termo associado à homogênea, mas ele não se anula em nenhum dos intervalos como x\to\infty; seu comportamento depende do intervalo considerado.

Resposta

y(x)=\dfrac{(x+1)(x+C)}{x-1},\\ C\in\mathbb{R}.
Os maiores intervalos de definição são (- \infty,-1),\;(-1,1),\;(1,\infty).
Há um termo homogêneo C\,\dfrac{x+1}{x-1} (o “termo transiente” associado à constante); porém esse termo não decai para zero em x\to\infty (ou x\to-\infty).

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