Nos problemas a seguir, ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre a qual a solução geral está definida. Determine se há termos transientes na solução geral. \left(x^{2}-1\right) \frac{d y}{d x}+2 y=(x+1)^{2}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede três coisas:
Encontrar a solução geral de \left(x^{2}-1\right)\dfrac{d y}{d x}+2 y=(x+1)^{2}.
Indicar o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.
Determinar se há termos transientes na solução geral.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A equação é de primeira ordem e linear em y.
O coeficiente multiplicando dy/dx é x^{2}-1, que se anula em x=\pm 1. Portanto a equação não é regular nesses pontos e qualquer solução geral deve ser considerada em intervalos que não contenham \pm 1.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
\dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Dividindo a equação original por x^{2}-1 (valendo apenas onde x^{2}-1\neq0) obtemos
Observação prática: em cada intervalo onde \dfrac{x-1}{x+1} tem sinal fixo pode-se tomar \mu(x)=\dfrac{x-1}{x+1} (o sinal absoluto pode ser incorporado na constante de integração posterior).
Passo 5
Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=\dfrac{x-1}{x+1}. Usando a propriedade do fator integrante:
Aqui y_{p}(x)=\dfrac{x(x+1)}{x-1} é uma solução particular e y_{h}(x)=\dfrac{x+1}{x-1} é a solução geral da homogênea multiplicada pela constante C.
Passo 8
Determinar o maior intervalo I onde a solução geral está definida:
A equação (e o fator integrante) são singular em x=\pm 1. Assim a solução geral válida e contínua não pode cruzar esses pontos.
Os maiores intervalos conectados onde a solução é válida são
(-\infty,-1),\qquad (-1,1),\qquad (1,\infty).
Em cada um desses intervalos a expressão y(x)=(x+C)\dfrac{x+1}{x-1} descreve a família de soluções (com constantes C possivelmente diferentes em cada intervalo).
Passo 9
Determinar se há termos transientes:
O termo que envolve a constante arbitrária C é y_{h}(x)=C\,\dfrac{x+1}{x-1}. Esse é o chamado termo homogêneo (ou “transiente” se o contexto for evolução temporal).
Observando o comportamento para grandes |x|: \dfrac{x+1}{x-1}\to 1 quando x\to\pm\infty. Portanto esse termo não tende para zero em (1,\infty) nem em (-\infty,-1); tende para uma constante multiplicada por C. No intervalo (-1,1) ele é singular ao aproximar-se de \pm 1. Assim:
Sim, existe um termo homogêneo (dependente da constante C), mas ele não é um termo que decai para zero quando x\to\infty; logo não é um “transiente” que desaparece em infinito. Em suma: há um termo associado à homogênea, mas ele não se anula em nenhum dos intervalos como x\to\infty; seu comportamento depende do intervalo considerado.
Resposta
y(x)=\dfrac{(x+1)(x+C)}{x-1},\\ C\in\mathbb{R}.
Os maiores intervalos de definição são (- \infty,-1),\;(-1,1),\;(1,\infty).
Há um termo homogêneo C\,\dfrac{x+1}{x-1} (o “termo transiente” associado à constante); porém esse termo não decai para zero em x\to\infty (ou x\to-\infty).