Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede:
- encontrar a solução
que satisfaz a equação e a condição inicial; - determinar o maior intervalo
no qual essa solução está definida.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem
identificando explicitamente
e
. Comparando com a equação dada, temos
Agora uma ideia-chave (explicada de forma simples): se tivermos
, existe uma função chamada fator integrante
tal que ao multiplicar a equação por
o lado esquerdo fica exatamente a derivada do produto
. Esse
é dado por
A razão é aplicar a regra do produto:
, e escolher
para que
.
Passo 3
Calculemos o fator integrante:
Podemos tomar
(constante multiplicativa no exponencial só escala
), então escolhemos
Multiplicando a equação original por
obtemos
Pelo cálculo do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
Para calcular a integral, fazemos a substituição
. Então
, portanto
. Assim
Logo
e isolando
obtemos a solução geral
onde
é constante arbitrária.
Passo 5
Agora aplicamos a condição inicial
. Como
, temos
. Substituindo:
portanto
A solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 6
Precisamos dar o maior intervalo
onde essa solução está definida. Observe que:
- as funções
e são contínuas para todo ; - o fator integrante
e a expressão são bem definidas e positivas para todo .
Pelo teorema de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem (coeficientes contínuos em todo), a solução única determinada pela condição inicial está definida para todo . Assim o maior intervalo é .