Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
y^{\prime}-(\operatorname{sen} x) y=2 \operatorname{sen} x, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
y'(x)-(\sin x)\,y(x)=2\sin x,\qquad y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
O que se pede:
  • encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial;
  • determinar o maior intervalo I no qual essa solução está definida.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem
y'+p(x)y=q(x),
identificando explicitamente p(x) e q(x). Comparando com a equação dada, temos
p(x)=-\sin x,\qquad q(x)=2\sin x.
Agora uma ideia-chave (explicada de forma simples): se tivermos y'+p(x)y=q(x), existe uma função chamada fator integrante \mu(x) tal que ao multiplicar a equação por \mu(x) o lado esquerdo fica exatamente a derivada do produto \mu(x)y(x). Esse \mu(x) é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
A razão é aplicar a regra do produto: (\mu y)'=\mu y'+\mu' y, e escolher \mu para que \mu'=\mu p.

Passo 3

Calculemos o fator integrante:
\int p(x)\,dx=\int -\sin x\,dx=\cos x + C.
Podemos tomar C=0 (constante multiplicativa no exponencial só escala \mu), então escolhemos
\mu(x)=e^{\cos x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x) obtemos
e^{\cos x}y' - (\sin x)e^{\cos x}y = 2\sin x\, e^{\cos x}.
Pelo cálculo do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\bigl(e^{\cos x}y\bigr)' = 2\sin x\, e^{\cos x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{\cos x}y=\int 2\sin x\, e^{\cos x}\,dx + C.
Para calcular a integral, fazemos a substituição u=\cos x. Então du=-\sin x\,dx, portanto \sin x\,dx=-du. Assim
\int 2\sin x\, e^{\cos x}\,dx = -2\int e^{u}\,du = -2e^{u}+C = -2e^{\cos x}+C.
Logo
e^{\cos x}y = -2e^{\cos x}+C,
e isolando y obtemos a solução geral
y(x) = -2 + C e^{-\cos x},
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Agora aplicamos a condição inicial y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1. Como \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, temos e^{-\cos(\pi/2)}=e^{0}=1. Substituindo:
1 = y\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2 + C\cdot 1,
portanto
C=3.
A solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x) = -2 + 3e^{-\cos x}.

Passo 6

Precisamos dar o maior intervalo I onde essa solução está definida. Observe que:
  • as funções \sin x e \cos x são contínuas para todo x\in\mathbb{R};
  • o fator integrante e^{\cos x} e a expressão e^{-\cos x} são bem definidas e positivas para todo x\in\mathbb{R}.
    Pelo teorema de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem (coeficientes contínuos em todo \mathbb{R}), a solução única determinada pela condição inicial está definida para todo x\in\mathbb{R}. Assim o maior intervalo é (-\infty,\infty).

Resposta

y(x) = -2 + 3e^{-\cos x}
I = (-\infty,\infty)

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