Nos problemas a seguir, ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre a qual a solução geral está definida. Determine se há termos transientes na solução geral.
\cos ^{2} x \operatorname{sen} x \frac{d y}{d x}+\left(\cos ^{3} x\right) y=1

Passo 1

O enunciado pede três coisas aplicadas à equação diferencial
\cos^{2}x\,\operatorname{sen} x\,\frac{dy}{dx}+\cos^{3}x\,y=1.
As perguntas são:
  • Achar a solução geral y(x).
  • Dar o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.
  • Determinar se há termos transientes na solução geral.
Informações relevantes dadas:
  • A equação é escrita em termos de \operatorname{sen} x e \cos x.
  • Note que, ao dividir por algum fator para pôr em forma padrão, devemos tomar cuidado onde \operatorname{sen} x ou \cos x são zero porque isso pode tornar a equação singular.

Passo 2

Colocar a equação na forma linear padrão. Primeiro divido toda a equação por \cos^{2}x\,\operatorname{sen} x (isso só é válido quando \cos x\neq0 e \operatorname{sen} x\neq0, veremos os intervalos depois):
\frac{dy}{dx}+\frac{\cos^{3}x}{\cos^{2}x\,\operatorname{sen} x}\,y=\frac{1}{\cos^{2}x\,\operatorname{sen} x}.
Simplificando o coeficiente:
\frac{\cos^{3}x}{\cos^{2}x\,\operatorname{sen} x}=\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}=\cot x.
E o termo de fonte fica
\frac{1}{\cos^{2}x\,\operatorname{sen} x}=\operatorname{sec}^{2}x\csc x.
Portanto a equação na forma padrão é
\frac{dy}{dx}+\cot x\,y=\operatorname{sec}^{2}x\csc x.
Agora uma breve aula sobre o método que vou usar (integrating factor), passo a passo e intuitivo:
  • Uma EDO linear de primeira ordem tem a forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x).
  • O fator integrante (integrating factor) é \mu(x)=\exp\!\big(\int P(x)\,dx\big). Multiplicando a EDO por \mu transforma o lado esquerdo em derivada do produto \mu(x)y(x), isto é (\mu y)'=\mu Q.
  • Depois integra-se e isola-se y.
Aqui, P(x)=\cot x. Calculo o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int\cot x\,dx\right).
Recordando que \int\cot x\,dx=\ln|\operatorname{sen} x|+C, obtemos (escolhendo a constante multiplicativa convenientemente)
\mu(x)=\operatorname{sen} x.
Observação sobre domínio: esse cálculo assume \operatorname{sen} x\neq0. Também, na etapa inicial dividimos por \cos^{2}x, então precisamos de \cos x\neq0. Logo os pontos onde \operatorname{sen} x=0 ou \cos x=0 são singulares — depois definiremos os maiores intervalos sem essas singularidades.

Passo 3

Multiplico a equação padronizada por \mu(x)=\operatorname{sen} x. Temos:
\operatorname{sen} x\frac{dy}{dx}+\operatorname{sen} x\cot x\,y=\operatorname{sen} x\cdot\operatorname{sec}^{2}x\csc x.
Simplifico os termos: \operatorname{sen} x\cot x=\cos x e \operatorname{sen} x\cdot\operatorname{sec}^{2}x\csc x=\operatorname{sec}^{2}x. Então a equação torna-se
\operatorname{sen} x\frac{dy}{dx}+\cos x\,y=\operatorname{sec}^{2}x.
Pelo motivo do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x\cdot y\big)=\operatorname{sec}^{2}x.
Agora integro ambos os lados em relação a x:
\operatorname{sen} x\cdot y=\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx + C.
Recordando que \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x, a integral é \tan x. Assim
\operatorname{sen} x\cdot y=\tan x + C.
Isolando y,
y=\frac{\tan x + C}{\operatorname{sen} x}.
Faço uma simplificação algébrica para deixar em forma mais clara. Escrevendo \tan x=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x},
\frac{\tan x}{\operatorname{sen} x}=\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\cdot\frac{1}{\operatorname{sen} x}=\frac{1}{\cos x}=\operatorname{sec} x.
E \dfrac{C}{\operatorname{sen} x}=C\csc x. Portanto a solução geral é
y(x)=\operatorname{sec} x + C\,\csc x,
onde C é constante arbitrária.
Explicação didática do resultado:
  • A solução geral de uma EDO linear de primeira ordem é soma de uma solução particular ( \operatorname{sec} x) e da solução geral da homogênea ( C\csc x).
  • A parte homogênea aqui satisfaz \dfrac{dy}{dx}+\cot x\,y=0; resolvendo dá y_h=C\csc x.
  • A parte particular encontrada é y_p=\operatorname{sec} x.

Passo 4

Determinar o maior intervalo I onde a solução geral está definida.
  • Durante a resolução dividimos por \cos^{2}x e por \operatorname{sen} x, e também a forma final y=\operatorname{sec} x + C\csc x exige que \cos x\neq0 e \operatorname{sen} x\neq0.
  • Os pontos onde \operatorname{sen} x=0 ou \cos x=0 são exatamente os pontos x=k\pi e x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, respectivamente; juntos formam a sequência x=\tfrac{k\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}.
  • Portanto a solução geral é definida em cada intervalo aberto entre dois zeros consecutivos de \operatorname{sen} x ou \cos x, ou seja em cada intervalo
\left(\tfrac{k\pi}{2},\tfrac{(k+1)\pi}{2}\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Cada um desses intervalos é o maior intervalo (conectado) onde a solução geral contínua e diferenciável existe.

Passo 5

Sobre termos transientes:
  • A solução geral é y(x)=\operatorname{sec} x + C\csc x, decompondo em y_p=\operatorname{sec} x e y_h=C\csc x.
  • Em teoria de EDOs, por “termos transientes” costuma-se entender componentes da solução homogênea que decaem para zero quando a variável independente vai a algum limite (por exemplo no tempo t\to\infty aparecem exponenciais decaindo).
  • Aqui a parte homogênea C\csc x não é um termo que decai para zero em sentido global — ela é periódica/singular e, geralmente, não tende a zero quando x\to\infty; perto das singularidades (os extremos do intervalo) ela diverge. Logo não há termos transientes do tipo decaimento exponencial.
  • Conclusão: não existem termos transientes no sentido de termos que tendam a zero com x grande; a única parte arbitrária é C\csc x e ela não é um termo transientemente decrescente.

Resposta

y(x)=\operatorname{sec} x + C\,\csc x
I=\left(\tfrac{k\pi}{2},\tfrac{(k+1)\pi}{2}\right),\quad k\in\mathbb{Z}
Não — não há termos transientes que decaiam; a parte homogênea é C\,\csc x.

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