Nos problemas a seguir, ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre a qual a solução geral está definida. Determine se há termos transientes na solução geral.
Passo 1
O enunciado pede três coisas aplicadas à equação diferencial
As perguntas são:
- Achar a solução geral
. - Dar o maior intervalo
sobre o qual a solução geral está definida. - Determinar se há termos transientes na solução geral.
Informações relevantes dadas:
- A equação é escrita em termos de
e . - Note que, ao dividir por algum fator para pôr em forma padrão, devemos tomar cuidado onde
ou são zero porque isso pode tornar a equação singular.
Passo 2
Colocar a equação na forma linear padrão. Primeiro divido toda a equação por
(isso só é válido quando
e
, veremos os intervalos depois):
Simplificando o coeficiente:
E o termo de fonte fica
Portanto a equação na forma padrão é
Agora uma breve aula sobre o método que vou usar (integrating factor), passo a passo e intuitivo:
- Uma EDO linear de primeira ordem tem a forma
. - O fator integrante (integrating factor) é
. Multiplicando a EDO por transforma o lado esquerdo em derivada do produto , isto é . - Depois integra-se e isola-se
.
Aqui,
. Calculo o fator integrante:
Recordando que
, obtemos (escolhendo a constante multiplicativa convenientemente)
Observação sobre domínio: esse cálculo assume
. Também, na etapa inicial dividimos por
, então precisamos de
. Logo os pontos onde
ou
são singulares — depois definiremos os maiores intervalos sem essas singularidades.
Passo 3
Multiplico a equação padronizada por
. Temos:
Simplifico os termos:
e
. Então a equação torna-se
Pelo motivo do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Agora integro ambos os lados em relação a
:
Recordando que
, a integral é
. Assim
Isolando
,
Faço uma simplificação algébrica para deixar em forma mais clara. Escrevendo
,
E
. Portanto a solução geral é
onde
é constante arbitrária.
Explicação didática do resultado:
- A solução geral de uma EDO linear de primeira ordem é soma de uma solução particular (
) e da solução geral da homogênea ( ). - A parte homogênea aqui satisfaz
; resolvendo dá . - A parte particular encontrada é
.
Passo 4
Determinar o maior intervalo
onde a solução geral está definida.
- Durante a resolução dividimos por
e por , e também a forma final exige que e . - Os pontos onde
ou são exatamente os pontos e , respectivamente; juntos formam a sequência , . - Portanto a solução geral é definida em cada intervalo aberto entre dois zeros consecutivos de
ou , ou seja em cada intervalo
Cada um desses intervalos é o maior intervalo (conectado) onde a solução geral contínua e diferenciável existe.
Passo 5
Sobre termos transientes:
- A solução geral é
, decompondo em e . - Em teoria de EDOs, por “termos transientes” costuma-se entender componentes da solução homogênea que decaem para zero quando a variável independente vai a algum limite (por exemplo no tempo
aparecem exponenciais decaindo). - Aqui a parte homogênea
não é um termo que decai para zero em sentido global — ela é periódica/singular e, geralmente, não tende a zero quando ; perto das singularidades (os extremos do intervalo) ela diverge. Logo não há termos transientes do tipo decaimento exponencial. - Conclusão: não existem termos transientes no sentido de termos que tendam a zero com
grande; a única parte arbitrária é e ela não é um termo transientemente decrescente.
Resposta
Não — não há termos transientes que decaiam; a parte homogênea é