Nos problemas a seguir, ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre a qual a solução geral está definida. Determine se há termos transientes na solução geral.
y d x=\left(y e^{y}-2 x\right) d y

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Achar a solução geral da equação diferencial dada:
y\,dx=\bigl(y e^{y}-2x\bigr)\,dy.
  • Dar o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.
  • Determinar se há termos transientes na solução geral.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação relaciona os diferenciais dx e dy.
  • A variável y aparece multiplicando dx e também no denominador se isolarmos dx/dy; isso indica atenção especial ao ponto y=0.
  • Procuramos a família de curvas x em função de y (ou seja, tratar y como variável independente).

Passo 2

Colocar a equação na forma de uma equação diferencial ordinária explícita para x em função de y. Dividindo ambos os lados por dy (assumindo dy\neq0) e por y (vendo que y=0 será um ponto singular), obtemos
\frac{dx}{dy}=\frac{y e^{y}-2x}{y}.
Reescrevendo em forma padrão linear:
\frac{dx}{dy}+\frac{2}{y}\,x=e^{y}, \qquad y\neq0.
Observação pedagógica: uma equação da forma
\frac{dx}{dy}+P(y)\,x=Q(y)
é uma equação linear de 1ª ordem em x(y). Aqui temos P(y)=\dfrac{2}{y} e Q(y)=e^{y}. Note que P(y) é singular em y=0, por isso a solução geral precisará ser tratada em intervalos que não contenham 0.

Passo 3

Apresentar o método (fórmula) do fator integrante. Para a equação
\frac{dx}{dy}+P(y)\,x=Q(y),
o fator integrante \mu(y) é dado por
\mu(y)=\exp\!\Bigl(\int P(y)\,dy\Bigr).
Multiplicando a equação por \mu(y) transforma-se o lado esquerdo em derivada de produto:
\frac{d}{dy}\bigl(\mu(y)\,x(y)\bigr)=\mu(y)\,Q(y).
Depois integra-se ambos os lados em relação a y.

Passo 4

Calcular o fator integrante para nosso P(y)=\dfrac{2}{y}:
\mu(y)=\exp\!\Bigl(\int \frac{2}{y}\,dy\Bigr)=\exp\!\bigl(2\ln|y|\bigr)=y^{2},
onde usamos |y| na primitiva, mas y^{2} é positivo e suficiente para trabalhar em intervalos onde y\neq0.
Multiplicando a equação original por y^{2} obtemos
y^{2}\frac{dx}{dy}+2y\,x = y^{2}e^{y}.
O lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dy}\bigl(y^{2}x\bigr)=y^{2}e^{y}.

Passo 5

Integrar ambos os lados com respeito a y:
y^{2}x=\int y^{2}e^{y}\,dy + C,
onde C é constante de integração. Agora calcular a integral \int y^{2}e^{y}\,dy. Fazer por partes (ou lembrar da fórmula para polinômios vezes exponencial). Fazendo integrações por partes duas vezes:
  1. Tome u=y^{2}, dv=e^{y}dy. Então du=2y\,dy, v=e^{y}. Assim
\int y^{2}e^{y}\,dy = y^{2}e^{y}-\int 2y e^{y}\,dy.
  1. Agora integrar \int 2y e^{y}\,dy por partes: tome u=2y, dv=e^{y}dy então du=2\,dy, v=e^{y}. Obtemos
\int 2y e^{y}\,dy = 2y e^{y} - \int 2 e^{y}\,dy = 2y e^{y} - 2 e^{y}.
Substituindo de volta:
\int y^{2}e^{y}\,dy = y^{2}e^{y} - \bigl(2y e^{y} - 2 e^{y}\bigr) = e^{y}\bigl(y^{2}-2y+2\bigr) + \text{const}.
Podemos verificar derivando: \dfrac{d}{dy}\bigl(e^{y}(y^{2}-2y+2)\bigr)=e^{y}y^{2}, confirmando o resultado.

Passo 6

Usando a integral obtida, a solução geral para x(y) é
y^{2}x = e^{y}\bigl(y^{2}-2y+2\bigr)+C.
Portanto, isolando x,
x(y)=\frac{e^{y}\bigl(y^{2}-2y+2\bigr)+C}{y^{2}},\qquad y\neq0,
onde C\in\mathbb{R} é a constante de integração. Esta é a família geral de soluções obtida pelo método do fator integrante.

Passo 7

Determinar o maior intervalo I onde a solução geral (com constante arbitrária C) está definida.
  • A expressão encontrada usa divisão por y^{2}, por isso a solução geral com constante arbitrária só é bem definida quando y\neq0. Logo o maior domínio onde a família com C livre está definida é qualquer intervalo onde y não muda de sinal; os maiores intervalos conectados são
I_1=(0,\infty)\quad\text{e}\quad I_2=(-\infty,0).
Em outras palavras, a solução geral (com C arbitrário) é válida em y>0 ou y<0, mas não atravessa y=0.
  • Observação importante (caso especial): existe uma escolha particular da constante que remove a singularidade em y=0. Se escolhermos C=-2, o numerador
e^{y}\bigl(y^{2}-2y+2\bigr)-2
tem cancelamento até ordem y^{2} em sua expansão em torno de y=0, de modo que o limite
\lim_{y\to0}\frac{e^{y}\bigl(y^{2}-2y+2\bigr)-2}{y^{2}}
é finito (na verdade igual a 0), e a solução se estende continuamente por y=0 com x(0)=0. Portanto a solução com C=-2 pode ser estendida para todo \mathbb{R} (isto é, a solução particular global). Mas a solução geral com constante arbitrária só é garantida em I=(0,\infty) ou I=(-\infty,0).

Passo 8

Identificar termos transientes. Separar a solução em parte particular e homogênea:
  • A solução particular (uma solução fixa) é
x_{p}(y)=\frac{e^{y}\bigl(y^{2}-2y+2\bigr)}{y^{2}}=e^{y}\Bigl(1-\frac{2}{y}+\frac{2}{y^{2}}\Bigr).
  • A solução homogênea da equação associada \dfrac{dx}{dy}+\dfrac{2}{y}x=0 é
x_{h}(y)=\frac{C}{y^{2}}.
A solução geral é x=x_{p}+x_{h}.
O termo x_{h}(y)=C/y^{2} é o termo transiente no sentido de que é a parte dependente da constante arbitrária: para |y|\to\infty esse termo tende a 0 (portanto desaparece frente ao crescimento de x_{p} quando y\to+\infty, já que x_p cresce como e^{y} para y\to+\infty). Assim, sim, existe um termo transiente C/y^{2}. O comportamento desse termo depende do intervalo considerado: ele decai para 0 quando |y|\to\infty, mas diverge quando y\to0 (exceto na escolha C=-2 que remove a singularidade).

Resposta

x(y)=\dfrac{e^{y}\bigl(y^{2}-2y+2\bigr)+C}{y^{2}},\\ C\in\mathbb{R}.
Maior(s) intervalo(s) para a solução geral: I=(0,\infty) ou I=(-\infty,0) (a escolha C=-2 estende a solução a todo \mathbb{R}).
Termos transientes: sim — o termo homogêneo x_{h}(y)=\dfrac{C}{y^{2}} (decai para 0 quando |y|\to\infty, diverge quando y\to0 salvo C=-2).

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