Nos problemas a seguir, ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre a qual a solução geral está definida. Determine se há termos transientes na solução geral.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Achar a solução geral da equação diferencial dada:
- Dar o maior intervalo
sobre o qual a solução geral está definida. - Determinar se há termos transientes na solução geral.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A equação relaciona os diferenciais
e . - A variável
aparece multiplicando e também no denominador se isolarmos ; isso indica atenção especial ao ponto . - Procuramos a família de curvas
em função de (ou seja, tratar como variável independente).
Passo 2
Colocar a equação na forma de uma equação diferencial ordinária explícita para
em função de
. Dividindo ambos os lados por
(assumindo
) e por
(vendo que
será um ponto singular), obtemos
Reescrevendo em forma padrão linear:
Observação pedagógica: uma equação da forma
é uma equação linear de 1ª ordem em
. Aqui temos
e
. Note que
é singular em
, por isso a solução geral precisará ser tratada em intervalos que não contenham
.
Passo 3
Apresentar o método (fórmula) do fator integrante. Para a equação
o fator integrante
é dado por
Multiplicando a equação por
transforma-se o lado esquerdo em derivada de produto:
Depois integra-se ambos os lados em relação a
.
Passo 4
Calcular o fator integrante para nosso
:
onde usamos
na primitiva, mas
é positivo e suficiente para trabalhar em intervalos onde
.
Multiplicando a equação original por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 5
Integrar ambos os lados com respeito a
:
onde
é constante de integração. Agora calcular a integral
. Fazer por partes (ou lembrar da fórmula para polinômios vezes exponencial). Fazendo integrações por partes duas vezes:
- Tome
, . Então , . Assim
- Agora integrar
por partes: tome , então , . Obtemos
Substituindo de volta:
Podemos verificar derivando:
, confirmando o resultado.
Passo 6
Usando a integral obtida, a solução geral para
é
Portanto, isolando
,
onde
é a constante de integração. Esta é a família geral de soluções obtida pelo método do fator integrante.
Passo 7
Determinar o maior intervalo
onde a solução geral (com constante arbitrária
) está definida.
- A expressão encontrada usa divisão por
, por isso a solução geral com constante arbitrária só é bem definida quando . Logo o maior domínio onde a família com livre está definida é qualquer intervalo onde não muda de sinal; os maiores intervalos conectados são
Em outras palavras, a solução geral (com
arbitrário) é válida em
ou
, mas não atravessa
.
- Observação importante (caso especial): existe uma escolha particular da constante que remove a singularidade em
. Se escolhermos , o numerador
tem cancelamento até ordem
em sua expansão em torno de
, de modo que o limite
é finito (na verdade igual a
), e a solução se estende continuamente por
com
. Portanto a solução com
pode ser estendida para todo
(isto é, a solução particular global). Mas a solução geral com constante arbitrária só é garantida em
ou
.
Passo 8
Identificar termos transientes. Separar a solução em parte particular e homogênea:
- A solução particular (uma solução fixa) é
- A solução homogênea da equação associada
é
A solução geral é
.
O termo
é o termo transiente no sentido de que é a parte dependente da constante arbitrária: para
esse termo tende a
(portanto desaparece frente ao crescimento de
quando
, já que
cresce como
para
). Assim, sim, existe um termo transiente
. O comportamento desse termo depende do intervalo considerado: ele decai para
quando
, mas diverge quando
(exceto na escolha
que remove a singularidade).
Resposta
Maior(s) intervalo(s) para a solução geral:
Termos transientes: sim — o termo homogêneo