Nos problemas a seguir calcule
d wd t
de duas maneiras: primeiro, usando a regra da cadeia e obtendo o resultado em função de t; em seguida substituindo e depois derivando.
(w(x, y)=e{x{2}+y^{2}}
x(t)=cos (t), y(t)=sen(t)

Passo 1

O exercício pede para calcular dwdt para w(x,y)=e^x^2+y^2 com x(t)=cos t e y(t)=sin t, usando duas abordagens: regra da cadeia e derivação após substituição. Vamos usar conceitos de derivada parcial e derivada de funções compostas.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, escrevemos
dwdt=partial wpartial xdxdt+partial wpartial ydydt

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial wpartial x=2x,e^x^2+y^2, partial wpartial y=2y,e^x^2+y^2,

Passo 4

e as derivadas das funções de t:
dxdt=-sin t, dydt=cos t

Passo 5

Substituindo em dwdt:
dwdt=e^x^2+y^2l(2x(-sin t)+2ycos tr)

Passo 6

Agora substituímos x=cos t e y=sin t:
dwdt=e^cos^2t+sin^2tl(2cos t(-sin t)+2sin tcos tr)

Passo 7

Como cos^2t+sin^2t=1 e o parêntese dá zero, fica e^1cdot0=0.
Na segunda abordagem, primeiro substituímos em w:
w(t)=e^cos^2t+sin^2t=e^1=e,
que é constante. Logo
dwdt=0

Resposta

0

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