Verifique as seguintes identidades. Indique quando a operação for impossível.
nabla cdot(F times G)=(nabla times F) cdot G-(nabla times(nabla G)) cdot F

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade de cálculo vetorial
A identidade é
abla cdot (F times G) = (nabla times F) cdot G - (nabla times (nabla G)) cdot F
Vamos usar operadores vetoriais (divergência, rotacional) e notação de índices com o símbolo de Levi-Civita para conferir se essa igualdade faz sentido.

Passo 2

Recordando as definições em notação de índices:
– Divergência do produto vetorial:
nabla cdot (F times G) = varepsilonijk , partiali (Fj , Gk)
– Rotacional de um vetor V:
(nabla times V)i = varepsilonijk , partialj Vk
Aqui partiali é a derivada parcial em relação a xi e varepsilonijk é o símbolo de Levi-Civita.

Passo 3

Agora aplicamos a derivada ao produto Fj Gk:
nabla cdot (F times G) = varepsilonijk , l(partiali Fjr) Gk + varepsilonijk , Fj l(partiali Gkr)

Passo 4

Identificamos cada termo:
– O primeiro termo é
varepsilonijk , (partiali Fj) Gk = (nabla times F)k , Gk = (nabla times F) cdot G
– O segundo termo, usando a antissimetria de varepsilonijk, vira
varepsilonijk , Fj (partiali Gk) = -varepsilonkji , Fj (partiali Gk) = - (nabla times G)j , Fj = - (nabla times G) cdot F

Passo 5

Logo obtemos a identidade correta:
nabla cdot (F times G) = (nabla times F) cdot G - (nabla times G) cdot F
No entanto, o enunciado original usa nabla times (nabla G).

Passo 6

O operador nabla times só está definido para campos vetoriais, mas nabla G é um tensor de segunda ordem. Portanto, nabla times (nabla G) não faz sentido e a identidade dada é impossível como está escrita.

Resposta

A operação nabla times (nabla G) não é definida (impossível). A identidade correta é:
nabla cdot (F times G) = (nabla times F) cdot G - (nabla times G) cdot F

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