Verifique as seguintes identidades. Indique quando a operação for impossível.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade de cálculo vetorial
A identidade é
A identidade é
Vamos usar operadores vetoriais (divergência, rotacional) e notação de índices com o símbolo de Levi-Civita para conferir se essa igualdade faz sentido.
Passo 2
Recordando as definições em notação de índices:
– Divergência do produto vetorial:
– Divergência do produto vetorial:
– Rotacional de um vetor
:
Aqui
é a derivada parcial em relação a
e
é o símbolo de Levi-Civita.
Passo 3
Agora aplicamos a derivada ao produto
:
Passo 4
Identificamos cada termo:
– O primeiro termo é
– O primeiro termo é
– O segundo termo, usando a antissimetria de
, vira
Passo 5
Logo obtemos a identidade correta:
No entanto, o enunciado original usa
.
Passo 6
O operador
só está definido para campos vetoriais, mas
é um tensor de segunda ordem. Portanto,
não faz sentido e a identidade dada é impossível como está escrita.
Resposta
A operação
não é definida (impossível). A identidade correta é: