Nos problemas a seguir, calcule a derivada da função dada e determine a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto dado. Use um recurso computacional para esboçar no mesmo sistema de eixos o gráfico da função e a reta tangente correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função quadrática, $ f(x) = 2x^{2} - 3x - 5 $, e precisamos calcular a derivada dela. Além disso, queremos saber qual é a inclinação da reta tangente à curva dessa função no ponto onde $ x = 0 $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada da Matemática, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação instantânea da função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente à curva dessa função em qualquer ponto. Para funções polinomiais como essa, a derivada é fácil de calcular usando as regras de derivação para potências.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função $ f(x) = 2x^{2} - 3x - 5 $. Usamos a regra de derivação para cada termo:
- A derivada de $ 2x^{2} $ é $ 2 \times 2x^{1} = 4x $.
- A derivada de $ -3x $ é $ -3 $.
- A derivada de uma constante, como $ -5 $, é $ 0 $.
Então, a derivada da função é:
Passo 4
Agora, queremos saber a inclinação da reta tangente no ponto onde $ x = 0 $. Para isso, substituímos $ x = 0 $ na derivada que encontramos:
Isso significa que a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto $ x = 0 $ é $ -3 $.
Resposta
A derivada da função $ f(x) = 2x^{2} - 3x - 5 $ é $ f’(x) = 4x - 3 $. No ponto onde $ x = 0 $, a inclinação da reta tangente à curva é $ -3 $.