Nos problemas a seguir, calcule o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0) ao longo de cada um dos caminhos indicados em i, ii e iii determinando, se existir, \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y).
f(x, y)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}
i. Ao longo do eixo x;
ii. Ao longo do eixo y;
iii. Ao longo da reta y=x;

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}} e pede para calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) ao longo de três caminhos específicos:
  • i. ao longo do eixo x (ou seja, pontos com y=0);
  • ii. ao longo do eixo y (ou seja, pontos com x=0);
  • iii. ao longo da reta y=x.
Também pede que se determine, caso exista, o valor de \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y). Observação importante que vem do enunciado: a função não está definida em (0,0) porque o denominador x^{2}+y^{2} é zero nesse ponto; estamos interessados apenas nos limites quando nos aproximamos de (0,0) por pontos onde a função está definida.

Passo 2

Breve explicação do que significa “limite ao longo de um caminho”: se eu for a zero por uma curva dada (por exemplo, y=0 ou y=x), eu posso substituir essa relação entre x e y na expressão de f e obter uma função de uma só variável. Então calculo o limite dessa função univariada quando a variável tende a zero. Se dois caminhos diferentes dão limites diferentes, então o limite bidimensional em (0,0) não existe. Isso é uma forma prática e comum de testar existência de limite em \mathbb{R}^2.

Passo 3

Cálculo do limite ao longo do eixo x (i): sobre o eixo x temos y=0 (e x\to0). Substituindo em f:
f(x,0)=\frac{x\cdot 0}{x^{2}+0^{2}}=\frac{0}{x^{2}}=0\quad\text{para }x\neq0.
Portanto a função vale identicamente 0 ao longo do eixo x (exceto no ponto (0,0) onde não está definida). Assim
\lim_{(x,0)\to(0,0)} f(x,0)=\lim_{x\to0} 0 = 0.

Passo 4

Cálculo do limite ao longo do eixo y (ii): sobre o eixo y temos x=0 (e y\to0). Substituindo em f:
f(0,y)=\frac{0\cdot y}{0^{2}+y^{2}}=\frac{0}{y^{2}}=0\quad\text{para }y\neq0.
Logo
\lim_{(0,y)\to(0,0)} f(0,y)=\lim_{y\to0} 0 = 0.

Passo 5

Cálculo do limite ao longo da reta y=x (iii): sobre y=x (com x\to0) substituímos y=x em f:
f(x,x)=\frac{x\cdot x}{x^{2}+x^{2}}=\frac{x^{2}}{2x^{2}}=\frac{1}{2}\quad\text{para }x\neq0.
A expressão é constante igual a \tfrac{1}{2} ao longo dessa reta (exceto em (0,0)). Portanto
\lim_{(x,x)\to(0,0)} f(x,x)=\lim_{x\to0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.

Passo 6

Comparação e conclusão sobre o limite geral: pelos passos anteriores temos limites ao longo de caminhos diferentes:
  • ao longo do eixo x o limite é 0;
  • ao longo do eixo y o limite é 0;
  • ao longo da reta y=x o limite é \tfrac{1}{2}.
Como dois caminhos deram limites distintos ( 0 e \tfrac{1}{2}), o limite bidimensional \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe. Regra prática usada: para existir o limite em \mathbb{R}^{2} todos os caminhos possíveis que chegam ao ponto devem dar o mesmo valor; aqui não ocorre isso, logo o limite não existe.

Passo 7

Comentário adicional (útil para a prova): se em vez de y=x você tomar uma reta genérica y=mx com coeficiente angular m, fazendo a mesma conta obtém-se
f(x,mx)=\frac{x\cdot mx}{x^{2}+m^{2}x^{2}}=\frac{m}{1+m^{2}} \quad (x\neq0).
Isso mostra que o valor do limite ao longo da reta y=mx é \dfrac{m}{1+m^{2}}, que depende de m. Para m=0 obtemos 0, para m=1 obtemos \tfrac{1}{2}, etc. Esse cálculo reforça de forma geral que o limite em (0,0) não existe porque caminhos com diferentes inclinações dão diferentes valores.

Resposta

i. 0
ii. 0
iii. \dfrac{1}{2}
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe

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