Nos problemas a seguir, calcule o limite de
quando
tende a
ao longo de cada um dos caminhos indicados em i, ii e iii determinando, se existir,
.
i. Ao longo do eixo
;
ii. Ao longo do eixo
;
iii. Ao longo da reta
;
i. Ao longo do eixo
ii. Ao longo do eixo
iii. Ao longo da reta
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular o limite de
quando
ao longo de três caminhos específicos:
- i. ao longo do eixo
(ou seja, pontos com ); - ii. ao longo do eixo
(ou seja, pontos com ); - iii. ao longo da reta
.
Também pede que se determine, caso exista, o valor de
. Observação importante que vem do enunciado: a função não está definida em
porque o denominador
é zero nesse ponto; estamos interessados apenas nos limites quando nos aproximamos de
por pontos onde a função está definida.
Passo 2
Breve explicação do que significa “limite ao longo de um caminho”: se eu for a zero por uma curva dada (por exemplo,
ou
), eu posso substituir essa relação entre
e
na expressão de
e obter uma função de uma só variável. Então calculo o limite dessa função univariada quando a variável tende a zero. Se dois caminhos diferentes dão limites diferentes, então o limite bidimensional em
não existe. Isso é uma forma prática e comum de testar existência de limite em
.
Passo 3
Cálculo do limite ao longo do eixo
(i): sobre o eixo
temos
(e
). Substituindo em
:
Portanto a função vale identicamente
ao longo do eixo
(exceto no ponto
onde não está definida). Assim
Passo 4
Cálculo do limite ao longo do eixo
(ii): sobre o eixo
temos
(e
). Substituindo em
:
Logo
Passo 5
Cálculo do limite ao longo da reta
(iii): sobre
(com
) substituímos
em
:
A expressão é constante igual a
ao longo dessa reta (exceto em
). Portanto
Passo 6
Comparação e conclusão sobre o limite geral: pelos passos anteriores temos limites ao longo de caminhos diferentes:
- ao longo do eixo
o limite é ; - ao longo do eixo
o limite é ; - ao longo da reta
o limite é .
Como dois caminhos deram limites distintos (
e
), o limite bidimensional
não existe. Regra prática usada: para existir o limite em
todos os caminhos possíveis que chegam ao ponto devem dar o mesmo valor; aqui não ocorre isso, logo o limite não existe.
Passo 7
Comentário adicional (útil para a prova): se em vez de
você tomar uma reta genérica
com coeficiente angular
, fazendo a mesma conta obtém-se
Isso mostra que o valor do limite ao longo da reta
é
, que depende de
. Para
obtemos
, para
obtemos
, etc. Esse cálculo reforça de forma geral que o limite em
não existe porque caminhos com diferentes inclinações dão diferentes valores.
Resposta
i.
ii.
iii.
não existe
ii.
iii.