Nos problemas a seguir, calcule
{f(t)}} usando a definição.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a definição, com a função dada
. Isso significa que a função é
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
A tarefa é aplicar a definição da transformada de Laplace e obter uma expressão em termos de
, indicando a condição em
para a convergência.
Passo 2
Definição da transformada de Laplace (aqui eu te ensino): a transformada de Laplace de uma função
é a integral imprópria
onde
é uma variável (real ou complexa) e a integral deve convergir. Aplicando com
obtemos a integral que precisamos calcular:
Passo 3
Antes de calcular, é importante garantir que a integral converge. Precisamos que
(ou
no caso complexo). Para justificar que os termos de fronteira que aparecem ao integrar por partes são nulos, verificamos que
Uma forma prática de ver isso é escrever o limite como
e aplicar a regra de L’Hôpital três vezes:
Portanto os termos na fronteira em
serão zero quando
. No
temos
. Logo podemos integrar por partes sem problemas.
Passo 4
Vamos calcular
por integração por partes. Lembra da fórmula de integração por partes:
onde escolhemos
como uma parte que simplifica ao derivar e
como a parte que sabemos integrar facilmente. Para a primeira vez, escolha
Então
Aplicando a fórmula:
Pelo Passo 3 o termo entre colchetes vale
. Assim
Definimos
, então
.
Passo 5
Calculamos
usando integração por partes novamente. Escolha agora
então
Aplicando:
O termo de fronteira é zero (pela mesma razão anterior). Logo
Defina
. Substituindo em
obtemos
Passo 6
Calcule
com integração por partes mais uma vez. Escolha
então
Aplicando:
O termo de fronteira é zero, e fica
A integral simples é
Portanto
Passo 7
Voltando para
:
Condição de validade: todas as etapas exigiram
(ou
no caso complexo) para convergência dos limites.