Nos problemas a seguir, calcule mathcal{L}{f(t)}} usando a definição.
f(t)=1 * t^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \mathcal{L}\{f(t)\} usando a definição, com a função dada f(t)=1 * t^{3}. Isso significa que a função é f(t)=t^{3}.
Informações relevantes fornecidas:
f(t)=t^{3}.
A tarefa é aplicar a definição da transformada de Laplace e obter uma expressão em termos de s, indicando a condição em s para a convergência.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace (aqui eu te ensino): a transformada de Laplace de uma função f(t) é a integral imprópria
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt,
onde s é uma variável (real ou complexa) e a integral deve convergir. Aplicando com f(t)=t^{3} obtemos a integral que precisamos calcular:
I:=\mathcal{L}\{t^{3}\}=\int_{0}^{\infty} t^{3} e^{-st}\,dt.

Passo 3

Antes de calcular, é importante garantir que a integral converge. Precisamos que s>0 (ou \Re(s)>0 no caso complexo). Para justificar que os termos de fronteira que aparecem ao integrar por partes são nulos, verificamos que
\lim_{t\to\infty} t^{3}e^{-st}=0\quad\text{para }s>0.
Uma forma prática de ver isso é escrever o limite como \lim_{t\to\infty}\dfrac{t^{3}}{e^{st}} e aplicar a regra de L’Hôpital três vezes:
\lim_{t\to\infty}\frac{t^{3}}{e^{st}} =\lim_{t\to\infty}\frac{3t^{2}}{s e^{st}} =\lim_{t\to\infty}\frac{6t}{s^{2} e^{st}} =\lim_{t\to\infty}\frac{6}{s^{3} e^{st}}=0.
Portanto os termos na fronteira em t=\infty serão zero quando s>0. No t=0 temos t^{3}e^{-st}=0. Logo podemos integrar por partes sem problemas.

Passo 4

Vamos calcular I=\int_{0}^{\infty} t^{3} e^{-st}\,dt por integração por partes. Lembra da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde escolhemos u como uma parte que simplifica ao derivar e dv como a parte que sabemos integrar facilmente. Para a primeira vez, escolha
u=t^{3},\qquad dv=e^{-st}\,dt.
Então
du=3t^{2}\,dt,\qquad v=\int e^{-st}\,dt=-\frac{1}{s}e^{-st}.
Aplicando a fórmula:
I=\left[ -\frac{t^{3}}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\cdot 3t^{2}\,dt.
Pelo Passo 3 o termo entre colchetes vale 0-0=0. Assim
I=\frac{3}{s}\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st}\,dt.
Definimos I_{2}:=\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st}\,dt, então I=\dfrac{3}{s}I_{2}.

Passo 5

Calculamos I_{2} usando integração por partes novamente. Escolha agora
u=t^{2},\qquad dv=e^{-st}\,dt,
então
du=2t\,dt,\qquad v=-\frac{1}{s}e^{-st}.
Aplicando:
I_{2}=\left[-\frac{t^{2}}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\cdot 2t\,dt.
O termo de fronteira é zero (pela mesma razão anterior). Logo
I_{2}=\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt.
Defina I_{1}:=\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt. Substituindo em I obtemos
I=\frac{3}{s}I_{2}=\frac{3}{s}\cdot\frac{2}{s}I_{1}=\frac{6}{s^{2}}I_{1}.

Passo 6

Calcule I_{1}=\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt com integração por partes mais uma vez. Escolha
u=t,\qquad dv=e^{-st}\,dt,
então
du=dt,\qquad v=-\frac{1}{s}e^{-st}.
Aplicando:
I_{1}=\left[-\frac{t}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\cdot 1\,dt.
O termo de fronteira é zero, e fica
I_{1}=\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
A integral simples é
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s}\quad\text{para }s>0.
Portanto
I_{1}=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.

Passo 7

Voltando para I:
I=\frac{6}{s^{2}}I_{1}=\frac{6}{s^{2}}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{6}{s^{4}}.
Condição de validade: todas as etapas exigiram s>0 (ou \Re(s)>0 no caso complexo) para convergência dos limites.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{3}\}=\dfrac{6}{s^{4}},\; s>0

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