Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente ou divergente. E calcule aquelas que convergem.
(f)
(Dica: integral por partes com
e
)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a integral imprópria
e decidir se ela converge ou diverge. É um problema de integrais impróprias e vamos precisar usar integração por partes como dica sugere.
Passo 2
Para lidar com o comportamento em
, reescrevemos a integral como limite:
Passo 3
Agora aplicamos integração por partes em
. Escolhemos
então
Logo,
Passo 4
Calculamos então
Passo 5
Faltou só tomar o limite quando
. Sabemos que
Portanto,
Isso mostra que a integral converge.
Passo 6
Concluímos que a integral imprópria converge e seu valor é
.
Resposta
A integral converge e vale -1.