Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente ou divergente. E calcule aquelas que convergem.
(f) integral0^1 ln x d x (Dica: integral por partes com u=ln x, d v=d x, d u=d x / x e v=x )

Passo 1

O enunciado pede para estudar a integral imprópria
integral0^1 ln x,dx
e decidir se ela converge ou diverge. É um problema de integrais impróprias e vamos precisar usar integração por partes como dica sugere.

Passo 2

Para lidar com o comportamento em x=0, reescrevemos a integral como limite:
integral0^1 ln x,dx = limato0^+ integrala^1 ln x,dx

Passo 3

Agora aplicamos integração por partes em integral ln x,dx. Escolhemos
u=ln x, dv=dx,
então
du=dxx, v=x
Logo,
integral ln x,dx = xln x - integral xcdot1x,dx = xln x - integral 1,dx = xln x - x + C

Passo 4

Calculamos então
integrala^1 ln x,dx = l[xln x - xr]a^1 = (1cdotln1 -1) - (aln a - a) = -1 - aln a + a

Passo 5

Faltou só tomar o limite quando ato0^+. Sabemos que
limato0^+ a = 0 e limato0^+ aln a = 0
Portanto,
limato0^+l(-1 - aln a + ar) = -1
Isso mostra que a integral converge.

Passo 6

Concluímos que a integral imprópria converge e seu valor é -1.

Resposta

A integral converge e vale -1.

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