Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria.
(a) integral0^infty x^4 e^-x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você trouxe. A gente precisa explicar por que a seguinte integral é imprópria:
integral0^infty x^4 e^-x^4 , dx
Aqui, estamos lidando com integrais impróprias, que aparecem quando os limites de integração são infinitos ou quando a função que estamos integrando tem algum ponto de descontinuidade no intervalo de integração. Vamos ver como isso se aplica a essa integral específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria. Existem dois casos principais:
  1. Limites infinitos: Quando a integral se estende até o infinito ou começa em menos infinito.
  2. Pontos de descontinuidade: Quando a função que está sendo integrada não é limitada em algum ponto do intervalo.
No nosso caso, a integral vai de 0 até infinito ( integral0^infty), então já temos um dos limites sendo infinito.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função dentro da integral: x^4 e^-x^4. Essa função é bem comportada em todo o intervalo de integração [0, ∞). Não há pontos onde ela se torne infinita ou indefinida. Portanto, o motivo pelo qual a integral é imprópria é exclusivamente por causa do limite superior infinito.

Resposta

A integral integral0^infty x^4 e^-x^4 , dx é imprópria porque ela tem um dos limites de integração igual ao infinito, tornando-a uma integral imprópria por ter limites infinitos.

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