Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você trouxe. A gente precisa explicar por que a seguinte integral é imprópria:
Aqui, estamos lidando com integrais impróprias, que aparecem quando os limites de integração são infinitos ou quando a função que estamos integrando tem algum ponto de descontinuidade no intervalo de integração. Vamos ver como isso se aplica a essa integral específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria. Existem dois casos principais:
- Limites infinitos: Quando a integral se estende até o infinito ou começa em menos infinito.
- Pontos de descontinuidade: Quando a função que está sendo integrada não é limitada em algum ponto do intervalo.
No nosso caso, a integral vai de 0 até infinito (
), então já temos um dos limites sendo infinito.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função dentro da integral:
. Essa função é bem comportada em todo o intervalo de integração [0, ∞). Não há pontos onde ela se torne infinita ou indefinida. Portanto, o motivo pelo qual a integral é imprópria é exclusivamente por causa do limite superior infinito.
Resposta
A integral
é imprópria porque ela tem um dos limites de integração igual ao infinito, tornando-a uma integral imprópria por ter limites infinitos.