Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Então calcule a área da região.
(h) y=x^2-7 x+6, pelo eixo x(y=0), x=2, x=6

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela parábola y = x^2 - 7x + 6, pela reta y=0 (eixo x) e pelas retas verticais x=2 e x=6. Vamos usar o conceito de área entre curvas.

Passo 2

Primeiro esboçamos a parábola: ela abre para cima e tem raízes em x=1 e x=6. Entre x=2 e x=6 a parábola fica abaixo do eixo x, pois y(2)=4-14+6=-4<0 e y(6)=0. Portanto a região está entre a reta superior y=0 e a reta inferior y=x^2-7x+6.

Passo 3

Como os limites em x são constantes (2 e 6) e ambas as fronteiras estão dadas por funções de x, é mais prático integrar em relação a x. Usamos a fórmula da área entre curvas: A=integrala^b [ysup(x)-yinf(x)],dx.

Passo 4

Montamos o integral:
A=integral2^6l(0 - (x^2 - 7x + 6)r),dx = integral2^6(-x^2 + 7x - 6),dx

Passo 5

Agora calculamos:
integral(-x^2 + 7x - 6),dx = -x^33 + 7x^22 - 6x + C

Passo 6

Avaliaremos de x=2 a x=6:
F(x)=-tfracx^33+tfrac7x^22-6x,
F(6)= -72 + 126 - 36 = 18, F(2)= -tfrac83 + 14 - 12 = -tfrac23

Passo 7

Então
A = F(6) - F(2) = 18 - l(-tfrac23r) = tfrac563

Resposta

A área da região é tfrac563.

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