Nos problemas a seguir, determine se a função dada é uma solução para a equação diferencial indicada.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a equação diferencial
e a função proposta
- Pergunta: verificar se a função dada é solução da equação diferencial, ou seja, se ao substituir
na equação a igualdade ocorre para todo .
Passo 2
Plano de verificação (o procedimento padrão):
- Calcular
e . - Calcular o produto
. - Substituir esses resultados em
e simplificar. - Comparar o resultado com o lado direito
. Se forem iguais para todo , é solução; caso contrário, não é solução.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
.
- Regra usada: a derivada de
em relação a é . - Aplicando termo a termo em
:
Passo 4
Calcular a segunda derivada
.
- Derivar novamente
, aplicando a mesma regra:
Passo 5
Calcular o produto
.
- Lembrando que
. - Temos
e . Multiplicando termo a termo:
- Calculando cada produto:
- Somando:
Passo 6
Montar e simplificar o lado esquerdo
.
- Já temos
, e . - Substituindo e lembrando do sinal menos em frente ao produto:
Passo 7
Comparar com o lado direito e concluir.
- O lado direito da equação é
. - O lado esquerdo que encontramos é
que claramente não é igual a
para todos os
(presença de termos em
que não aparecem no lado direito).
- Para um contraexemplo numérico rápido, avaliar em
:
portanto já em
a igualdade falha.
Resposta
Não,
não é solução da equação diferencial.