Nos problemas a seguir, determine se a função dada é uma solução para a equação diferencial indicada.
\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}-\theta \frac{d \theta}{d t}+3 \theta=-2 e^{2 t}, \quad \theta=2 e^{3 t}-e^{2 t}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a equação diferencial
\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}-\theta\frac{d\theta}{dt}+3\theta=-2e^{2t},
e a função proposta
\theta(t)=2e^{3t}-e^{2t}.
  • Pergunta: verificar se a função dada é solução da equação diferencial, ou seja, se ao substituir \theta(t) na equação a igualdade ocorre para todo t.

Passo 2

Plano de verificação (o procedimento padrão):
  • Calcular \dfrac{d\theta}{dt} e \dfrac{d^{2}\theta}{dt^{2}}.
  • Calcular o produto \theta\cdot\dfrac{d\theta}{dt}.
  • Substituir esses resultados em \dfrac{d^{2}\theta}{dt^{2}}-\theta\frac{d\theta}{dt}+3\theta e simplificar.
  • Comparar o resultado com o lado direito -2e^{2t}. Se forem iguais para todo t, é solução; caso contrário, não é solução.

Passo 3

Calcular a primeira derivada \dfrac{d\theta}{dt}.
  • Regra usada: a derivada de e^{kt} em relação a t é k e^{kt}.
  • Aplicando termo a termo em \theta(t)=2e^{3t}-e^{2t}:
\frac{d\theta}{dt}=2\cdot 3 e^{3t}-1\cdot 2 e^{2t}=6e^{3t}-2e^{2t}.

Passo 4

Calcular a segunda derivada \dfrac{d^{2}\theta}{dt^{2}}.
  • Derivar novamente \dfrac{d\theta}{dt}=6e^{3t}-2e^{2t}, aplicando a mesma regra:
\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=6\cdot 3 e^{3t}-2\cdot 2 e^{2t}=18e^{3t}-4e^{2t}.

Passo 5

Calcular o produto \theta\cdot\frac{d\theta}{dt}.
  • Lembrando que e^{a}e^{b}=e^{a+b}.
  • Temos \theta=2e^{3t}-e^{2t} e \theta'=6e^{3t}-2e^{2t}. Multiplicando termo a termo:
\theta\theta'=(2e^{3t})(6e^{3t})+(2e^{3t})(-2e^{2t})+(-e^{2t})(6e^{3t})+(-e^{2t})(-2e^{2t}).
  • Calculando cada produto:
(2e^{3t})(6e^{3t})=12e^{6t},
(2e^{3t})(-2e^{2t})=-4e^{5t},
(-e^{2t})(6e^{3t})=-6e^{5t},
(-e^{2t})(-2e^{2t})=2e^{4t}.
  • Somando:
\theta\theta'=12e^{6t}-10e^{5t}+2e^{4t}.

Passo 6

Montar e simplificar o lado esquerdo \dfrac{d^{2}\theta}{dt^{2}}-\theta\frac{d\theta}{dt}+3\theta.
  • Já temos \theta''=18e^{3t}-4e^{2t}, \theta\theta'=12e^{6t}-10e^{5t}+2e^{4t} e 3\theta=3(2e^{3t}-e^{2t})=6e^{3t}-3e^{2t}.
  • Substituindo e lembrando do sinal menos em frente ao produto:
\begin{aligned} \frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}-\theta\frac{d\theta}{dt}+3\theta &=(18e^{3t}-4e^{2t})-(12e^{6t}-10e^{5t}+2e^{4t})+(6e^{3t}-3e^{2t})\\[4pt] &=-12e^{6t}+10e^{5t}-2e^{4t}+(18e^{3t}+6e^{3t})+(-4e^{2t}-3e^{2t})\\[4pt] &=-12e^{6t}+10e^{5t}-2e^{4t}+24e^{3t}-7e^{2t}. \end{aligned}]

Passo 7

Comparar com o lado direito e concluir.
  • O lado direito da equação é -2e^{2t}.
  • O lado esquerdo que encontramos é
-12e^{6t}+10e^{5t}-2e^{4t}+24e^{3t}-7e^{2t},
que claramente não é igual a -2e^{2t} para todos os t (presença de termos em e^{6t},e^{5t},e^{4t},e^{3t} que não aparecem no lado direito).
  • Para um contraexemplo numérico rápido, avaliar em t=0:
\text{LHS}(0)=-12+10-2+24-7=13, \qquad \text{RHS}(0)=-2,
portanto já em t=0 a igualdade falha.

Resposta

Não, \theta=2e^{3t}-e^{2t} não é solução da equação diferencial.

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