Nos problemas a seguir, determine a transformada .
.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de F(s), sabendo que sF(s)+2F(s)=10s^2+12s+14s^2-2s+2. O conteúdo é Transformada de Laplace inversa, e vamos precisar isolar F(s), fazer decomposição em frações parciais e usar tabelas de transformadas.

Passo 2

Como sF(s)+2F(s)=(s+2)F(s), isolamos F(s):
F(s)=10s^2+12s+14(s^2-2s+2)(s+2)

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
10s^2+12s+14(s+2)(s^2-2s+2)=As+2+Bs+Cs^2-2s+2
Multiplicando ambos os lados por (s+2)(s^2-2s+2) e comparando coeficientes obtém-se o sistema
A+B=10, -2A+2B+C=12, 2A+2C=14
Resolvendo, achamos A=3, B=7, C=4. Assim
F(s)=3s+2+7s+4s^2-2s+2

Passo 4

Para usar a tabela de transformadas, completamos o quadrado:
s^2-2s+2=(s-1)^2+1
E escrevemos 7s+4=7(s-1)+11, logo
7s+4(s-1)^2+1=7(s-1)(s-1)^2+1+11(s-1)^2+1

Passo 5

Aplicando transformadas conhecidas:
  • L^-1[tfrac1s+2]=e^-2t
  • L^-1[tfracs-1(s-1)^2+1]=e^tcos t
  • L^-1[tfrac1(s-1)^2+1]=e^tsin t
    Portanto
f(t)=3e^-2t+7e^tcos t+11e^tsin t

Resposta

f(t)=3e{-2t}+7e{t}\cos t+11e^{t}\sin t

Exercícios relacionados