Nos problemas a seguir encontre a área das regiões indicadas:
(13.2) Exterior à circunferência r=cos theta e interior à cardióide r=1-cos theta.

Passo 1

O enunciado pede a área da região que é exterior à circunferência r=costheta e interior à cardióide r=1-costheta. O conteúdo envolve coordenadas polares e a fórmula da área em polares, e vamos precisar encontrar os ângulos de interseção e aplicar A=tfrac12integral (rexterno^2 - rinterno^2),dtheta.

Passo 2

Igualamos as duas curvas para achar os limites em theta:
costheta = 1 - costheta
Logo,
2costheta = 1 Rightarrow costheta = tfrac12
As soluções em [0,2pi] são
theta = tfracpi3, theta = tfrac5pi3

Passo 3

Entre esses ângulos, a cardióide r=1-costheta fica por fora da circunferência r=costheta. Assim o elemento de área é
dA = tfrac12l[(1-costheta)^2 - (costheta)^2r]dtheta

Passo 4

Simplificando o integrando:
(1-costheta)^2 - cos^2theta = 1 - 2costheta + cos^2theta - cos^2theta = 1 - 2costheta
Portanto a área é
A = tfrac12 integralpi/3^5pi/3 l(1 - 2costhetar)dtheta

Passo 5

Calculando a integral:
integral (1 - 2costheta)dtheta = theta - 2sintheta
Logo,
A = tfrac12 l[theta - 2sinthetar]pi/3^5pi/3

Passo 6

Avaliando nos limites:
Em theta=5pi/3:
5pi/3 - 2sinl(5pi/3r) = 5pi/3 - 2l(-tfracraiz32r) = 5pi/3 + raiz3
Em theta=pi/3:
pi/3 - 2sinl(pi/3r) = pi/3 - 2l(tfracraiz32r) = pi/3 - raiz3
A diferença é
(5pi/3 + raiz3) - (pi/3 - raiz3) = tfrac4pi3 + 2raiz3
Multiplicando tfrac12
A = tfrac12l(tfrac4pi3 + 2raiz3r) = tfrac2pi3 + raiz3

Resposta

2pi3 + raiz3

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