Mostre que
não existe se:
(20.2)
e
.
(20.2)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função $ f(x, y) = \frac{\sqrt{xy}}{x + y} $ e queremos mostrar que o limite dessa função quando o ponto
se aproxima de
não existe. Estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar aproximar
ao longo da reta $ y = kx $, onde $ k $ é uma constante. Substituindo $ y $ por $ kx $ na função, temos:
Quando $ x $ se aproxima de 0, a expressão acima não depende de $ x $ e resulta em $ \frac{\sqrt{k}}{1 + k} $.
Passo 3
Agora, vamos escolher diferentes valores de $ k $ para ver se o limite muda. Por exemplo:
-
Se $ k = 1 $:
-
Se $ k = 4 $:
Vemos que os limites são diferentes para diferentes valores de $ k $.
Passo 4
Além disso, vamos tentar outro caminho, por exemplo, ao longo da curva $ y = x^2 $. Substituindo na função:
Quando $ x $ se aproxima de 0, $ \frac{x^{1/2}}{1 + x} $ também se aproxima de 0.
Passo 5
Observamos que, dependendo do caminho escolhido para se aproximar de
, o limite de $ f(x, y) $ assume valores diferentes (por exemplo, $ \frac{1}{2} $, $ \frac{2}{5} $ ou 0). Isso significa que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.
Resposta
Portanto, o limite $ \lim_{P \rightarrow P_{0}} f(x, y) $ não existe.