Mostre que lim P P0 f(x, y) não existe se:
(20.2) f(x, y)=raizx yx+y e P0(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função $ f(x, y) = \frac{\sqrt{xy}}{x + y} $ e queremos mostrar que o limite dessa função quando o ponto f(x, y) = raizxyx + y se aproxima de (x, y) não existe. Estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto (0, 0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar aproximar (0, 0) ao longo da reta $ y = kx $, onde $ k $ é uma constante. Substituindo $ y $ por $ kx $ na função, temos:
y = kx
Quando $ x $ se aproxima de 0, a expressão acima não depende de $ x $ e resulta em $ \frac{\sqrt{k}}{1 + k} $.

Passo 3

Agora, vamos escolher diferentes valores de $ k $ para ver se o limite muda. Por exemplo:
  • Se $ k = 1 $:
    k
  • Se $ k = 4 $:
    k = 1
Vemos que os limites são diferentes para diferentes valores de $ k $.

Passo 4

Além disso, vamos tentar outro caminho, por exemplo, ao longo da curva $ y = x^2 $. Substituindo na função:
y = x^2
Quando $ x $ se aproxima de 0, $ \frac{x^{1/2}}{1 + x} $ também se aproxima de 0.

Passo 5

Observamos que, dependendo do caminho escolhido para se aproximar de (0, 0), o limite de $ f(x, y) $ assume valores diferentes (por exemplo, $ \frac{1}{2} $, $ \frac{2}{5} $ ou 0). Isso significa que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.

Resposta

Portanto, o limite $ \lim_{P \rightarrow P_{0}} f(x, y) $ não existe.

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