Nos problemas a seguir encontre a área das regiões indicadas:
(13.9) Exterior à limaçon
e interior à circunferência
.
(13.9) Exterior à limaçon
Passo 1
Resumo do enunciado: Queremos a área da região que é exterior à limaçon
e interior à circunferência
. O conteúdo é geometria em coordenadas polares e vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares
.
Passo 2
Encontrar a interseção das curvas para obter os limites de
: igualamos
, o que dá
e, portanto,
ou
.
Passo 3
Determinar o intervalo de
e o raio de integração: a condição
implica
, isto é
. Para cada
nesse intervalo, o raio varia de
até
.
Passo 4
Montar a integral da área em coordenadas polares:
Passo 5
Calcular a integral passo a passo: expandindo o integrando,
Usando
Passo 6
Assim
Passo 7
A primitiva de
é
. Avaliando de
a
dá