Nos problemas a seguir encontre a área das regiões indicadas:
(13.9) Exterior à limaçon r=2-sen theta e interior à circunferência r=3 sen theta.

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos a área da região que é exterior à limaçon r = 2 - sintheta e interior à circunferência r = 3sintheta. O conteúdo é geometria em coordenadas polares e vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares A=12integral r^2,dtheta.

Passo 2

Encontrar a interseção das curvas para obter os limites de theta: igualamos 2 - sintheta = 3sintheta, o que dá sintheta = tfrac12 e, portanto, theta = tfracpi6 ou theta = tfrac5pi6.

Passo 3

Determinar o intervalo de theta e o raio de integração: a condição 2-sintheta <= 3sintheta implica sintheta >= tfrac12, isto é thetain[tfracpi6,tfrac5pi6]. Para cada theta nesse intervalo, o raio varia de rrm limaçon=2-sinthetaç até rrm círculo=3sinthetaí.

Passo 4

Montar a integral da área em coordenadas polares:
A = 12integralpi/6^5pi/6l((3sintheta)^2 - (2-sintheta)^2r),dtheta

Passo 5

Calcular a integral passo a passo: expandindo o integrando,
(3sintheta)^2 - (2-sintheta)^2 = 9sin^2theta - (4 -4sintheta +sin^2theta)=8sin^2theta +4sintheta -4
Usando sin^2theta=tfrac1-cos2theta2, obtemos o integrando
-4cos2theta +4sintheta

Passo 6

Assim
A = 12integralpi/6^5pi/6(-4cos2theta +4sintheta),dtheta = 2integralpi/6^5pi/6(-cos2theta + sintheta),dtheta

Passo 7

A primitiva de -cos2theta +sintheta é -tfrac12sin2theta -costheta. Avaliando de pi/6 a 5pi/6
l[-sin2theta -2costhetar]pi/6^5pi/6 = 3raiz3

Resposta

3raiz3

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