Nos problemas a seguir encontre a área das regiões indicadas:
(13.4) Intersecção dos círculos r=4 cos theta e r=2.

Passo 1

O enunciado pede a área da interseção entre os dois círculos dados por r=4costheta e r=2. O conteúdo principal envolve geometria de curvas em coordenadas polares e a formulação da área em termos de interseção de dois círculos de mesmo raio.

Passo 2

A curva r=4costheta em coordenadas polares equivale, em coordenadas cartesianas, à equação
r^2=4rcosthetaimplies x^2+y^2=4x,
Isso é um círculo de centro (2,0) e raio 2. O outro círculo r=2 é de centro (0,0) e raio 2. Portanto, temos dois círculos de raio r=2 cujos centros estão a uma distância d=2.

Passo 3

Para achar os pontos de interseção, igualamos r=4costheta a r=2, obtendo costheta=1/2. Logo,
$$\theta=\pm\frac{\pi}{3} \quadcom pontos(2,\pm\sqrt3),.
$$

Passo 4

A área de interseção de dois círculos iguais de raio r com distância entre centros d é dada pela fórmula
A=2r^2cos^-1l(tfracd2rr)-d2raiz4r^2-d^2

Passo 5

Aqui r=2 e d=2, então d/(2r)=1/2 e cos^-1(1/2)=pi/3. Substituindo,
A=2cdot2^2cdotpi3-22raiz4cdot2^2-2^2 =8cdotpi3-1cdotraiz16-4 =8pi3-2raiz3

Resposta

8pi3-2raiz3

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