Nos problemas a seguir encontre a área das regiões indicadas:
(13.4) Intersecção dos círculos
e
.
(13.4) Intersecção dos círculos
Passo 1
O enunciado pede a área da interseção entre os dois círculos dados por
e
. O conteúdo principal envolve geometria de curvas em coordenadas polares e a formulação da área em termos de interseção de dois círculos de mesmo raio.
Passo 2
A curva
em coordenadas polares equivale, em coordenadas cartesianas, à equação
Isso é um círculo de centro
e raio
. O outro círculo
é de centro
e raio
. Portanto, temos dois círculos de raio
cujos centros estão a uma distância
.
Passo 3
Para achar os pontos de interseção, igualamos
a
, obtendo
. Logo,
$$\theta=\pm\frac{\pi}{3} \quadcom pontos(2,\pm\sqrt3),.
$$
Passo 4
A área de interseção de dois círculos iguais de raio
com distância entre centros
é dada pela fórmula
Passo 5
Aqui
e
, então
e
. Substituindo,