Faça um esboço do gráfico das seguintes equações polares:
(12.4) r=-25 cos 3 theta.

Passo 1

O enunciado pede um esboço do gráfico da curva em coordenadas polares dada por r=-25cos(3theta). O conteúdo envolve curvas do tipo rosa e vamos precisar reconhecer esse padrão e achar número de pétalas, comprimento e orientação.

Passo 2

A forma geral r=acos(ntheta) com n inteiro ímpar gera uma rosa de n pétalas. Aqui temos a= -25 e n=3. Como o sinal negativo pode ser absorvido num deslocamento de fase, o número de pétalas será 3. O comprimento de cada pétala é |a|=25. Então teremos três pétalas de raio máximo 25.

Passo 3

Para saber em que ângulos as pétalas apontam, buscamos os máximos de r. Os máximos ocorrem quando cos(3theta)=-1, pois r=-25cos(3theta).
Resolvendo cos(3theta)=-1:
3theta=pi+2pi k
theta=pi3+2pi k3, k=0,1,2
Isso dá theta=pi/3,;pi,;5pi/3. Nessas direções temos r=25, ou seja, as pétalas centrais.

Passo 4

No esboço, desenhe três pétalas de comprimento 25 apontando para theta=pi/3, theta=pi e theta=5pi/3, formando uma rosa de três pétalas simétrica. Cada pétala se estende do polo até o comprimento 25 nessas direções.

Resposta

Uma rosa de três pétalas de raio 25, com pétalas centradas em theta=pi/3, theta=pi e theta=5pi/3.

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