Nos problemas a seguir encontre a área das regiões indicadas:
(13.6) Interior à rosácea
e exterior à circunferência
.
(13.6) Interior à rosácea
Passo 1
O problema pede a área da região em coordenadas polares que fica dentro da rosácea
e fora da circunferência
. Vamos usar a fórmula de área em polares
Passo 2
Primeiro encontramos os pontos de interseção das curvas resolvendo
Isto dá
definindo três intervalos simétricos onde
.
Passo 3
A área é
Pela simetria, basta tomar um intervalo, por exemplo de
a
, e multiplicar por 3:
Passo 4
Notamos que
Então
Passo 5
Calculamos as integrais:
Logo
Substituindo em
:
Passo 6
Bastando simplificar: