Nos problemas a seguir encontre a área das regiões indicadas:
(13.6) Interior à rosácea r=2 cos 3 theta e exterior à circunferência r=1.

Passo 1

O problema pede a área da região em coordenadas polares que fica dentro da rosácea r=2cos3theta e fora da circunferência r=1. Vamos usar a fórmula de área em polares
A=12integral (rexterno^2 - rinterno^2),dtheta

Passo 2

Primeiro encontramos os pontos de interseção das curvas resolvendo
2cos3theta = 1 Longrightarrow cos3theta=tfrac12
Isto dá
3theta = pmtfracpi3 + 2kpi Longrightarrow theta = pmtfracpi9 + tfrac2kpi3, k=0,1,2,
definindo três intervalos simétricos onde 2cos3theta>=1.

Passo 3

A área é
A = 12sumj=1^3 integralthetaj^-^thetaj^+l((2cos3theta)^2 - 1^2r),dtheta
Pela simetria, basta tomar um intervalo, por exemplo de -tfracpi9 a tfracpi9, e multiplicar por 3:
A = 3cdot12integral-pi/9^pi/9 l(4cos^2(3theta)-1r),dtheta

Passo 4

Notamos que
4cos^2(3theta)-1 = 41+cos6theta2-1 = 1+2cos6theta
Então
A = 32integral-pi/9^pi/9 l(1+2cos6thetar),dtheta

Passo 5

Calculamos as integrais:
integral-pi/9^pi/91,dtheta = 2pi9,
integral-pi/9^pi/9cos6theta,dtheta = l[sin6theta6r]-pi/9^pi/9 = 16l(sintfrac2pi3-sin(-tfrac2pi3)r)=raiz36cdot2=raiz33
Logo
integral-pi/9^pi/9l(1+2cos6thetar),dtheta = 2pi9 + raiz33
Substituindo em A:
A = 32l(2pi9 + raiz33r)

Passo 6

Bastando simplificar:
A = 32cdot2pi9 + 32cdotraiz33 = pi3 + raiz32

Resposta

pi3 + raiz32

Exercícios relacionados