3 Questão: Calcule:
a) integral (ln x) cos (ln x)x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral (ln x)cos(ln x)x,dx. O conteúdo envolvido é integração por substituição seguida de integração por partes.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a substituição u = ln x. Então du = 1x,dx e a integral fica
integral (ln x)cos(ln x)x,dx = integral ucos u,du

Passo 3

Agora para calcular integral ucos u,du usamos integração por partes. Escolhemos U = u e dV = cos u,du, de modo que dU = du e V = sin u. Aplicando a fórmula integral U,dV = UV - integral V,dU temos:
integral ucos u,du = usin u - integral sin u,du = usin u + cos u + C

Passo 4

Voltando à variável original x, lembrando que u = ln x, obtemos o resultado final.

Resposta

(\ln x)\sin(\ln x) + \cos(\ln x) + C

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