3 Questão: Calcule:
b) integral x^3raiz1+x^2 d x

Passo 1

Nesse exercício, a gente precisa calcular a integral indefinida integral x^3raiz1+x^2,dx. O conteúdo é técnica de substituição para lidar com essa raiz, e vamos usar a derivada de 1+x^2.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u = 1 + x^2. Dessa forma, du = 2x,dx, ou seja, x,dx = tfrac12,du. Além disso, note que x^2 = u - 1.

Passo 3

Reescrevendo o integrando em função de u:
x^3raiz1+x^2,dx = x^2 cdot x,dxu^1/2 = (u-1)u^1/2cdotdu2
Logo,
integral x^3raiz1+x^2,dx = 12integral l(u^1/2 - u^-1/2r),du

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência integral u^n,du = u^n+1/(n+1):
12integral l(u^1/2 - u^-1/2r),du = 12l(u^3/23/2 - u^1/21/2r) + C = 13u^3/2 - u^1/2 + C

Passo 5

Por fim, voltando para x, como u = 1 + x^2, a resposta é 13(1+x^2)^3/2 - (1+x^2)^1/2 + C.

Resposta

13(1+x^2)^3/2 - raiz1+x^2 + C

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