Nos problemas a seguir encontre as equações (a) do plano tangente e (b) da reta normal para cada superfície no ponto dado
em
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a superfície
e o ponto
que pertence a essa superfície. O que se pede:
(a) a equação do plano tangente à superfície no ponto ;
(b) a equação da reta normal à superfície no mesmo ponto.
(a) a equação do plano tangente à superfície no ponto
(b) a equação da reta normal à superfície no mesmo ponto.
Informações úteis dadas pelo enunciado:
- A superfície é definida implicitamente pela soma das raízes quadradas das coordenadas igual a
. - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Idéia principal (sem ainda calcular): quando uma superfície é dada como nível de uma função
, ou seja
constante, o vetor gradiente
no ponto é normal à superfície naquele ponto. Assim:
- a equação do plano tangente em
é
- e a reta normal pode ser escrita com ponto
e direção igual a .
Aqui escolhemos a função
pois a superfície é o nível
.
Passo 3
Vou calcular as derivadas parciais de
. Lembre que a derivada de
em relação a
é
. Aplicando isso a cada coordenada:
Portanto o gradiente é
Passo 4
Avalio o gradiente no ponto
. Calculo as raízes:
Substituindo:
Esse vetor é normal à superfície em
.
Passo 5
Agora escrevo a equação do plano tangente usando a fórmula do produto escalar:
Expandindo:
Para deixar mais limpo, multiplico toda a equação por
(mínimo comum múltiplo dos denominadores) e obtenho:
Desenvolvendo e reunindo termos:
Portanto uma forma simples do plano tangente é
Também é possível escrever o plano isolando
:
Passo 6
Para a reta normal: ela passa por
e tem direção dada por
. Como a direção pode ser escalada, prefiro usar um vetor inteiro equivalente: multiplicando
por
obtemos o vetor
. Assim a reta normal em forma paramétrica é
ou seja
Forma simétrica equivalente (usando o vetor original também funciona):
Passo 7
Verificação rápida (para dar confiança): substituindo
na equação do plano temos
, então o ponto pertence ao plano obtido. A direção
é paralela a
, logo é realmente normal à superfície.
Resposta
(a) Plano tangente:
(b) Reta normal: