Nos problemas a seguir encontre as equações (a) do plano tangente e (b) da reta normal para cada superfície no ponto dado
\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=6 em (9,4,1)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a superfície
\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=6
e o ponto (9,4,1) que pertence a essa superfície. O que se pede:
(a) a equação do plano tangente à superfície no ponto (9,4,1);
(b) a equação da reta normal à superfície no mesmo ponto.
Informações úteis dadas pelo enunciado:
  • A superfície é definida implicitamente pela soma das raízes quadradas das coordenadas igual a 6.
  • O ponto de interesse é (x_0,y_0,z_0)=(9,4,1).

Passo 2

Idéia principal (sem ainda calcular): quando uma superfície é dada como nível de uma função F(x,y,z), ou seja F(x,y,z)= constante, o vetor gradiente \nabla F no ponto é normal à superfície naquele ponto. Assim:
  • a equação do plano tangente em (x_0,y_0,z_0) é
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot\bigl(x-x_0,\;y-y_0,\;z-z_0\bigr)=0,
  • e a reta normal pode ser escrita com ponto (x_0,y_0,z_0) e direção igual a \nabla F(x_0,y_0,z_0).
Aqui escolhemos a função
F(x,y,z)=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z},
pois a superfície é o nível F(x,y,z)=6.

Passo 3

Vou calcular as derivadas parciais de F. Lembre que a derivada de \sqrt{u} em relação a u é \dfrac{1}{2\sqrt{u}}. Aplicando isso a cada coordenada:
F_x(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}},
F_y(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{y}=\frac{1}{2\sqrt{y}},
F_z(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial z}\sqrt{z}=\frac{1}{2\sqrt{z}}.
Portanto o gradiente é
\nabla F(x,y,z)=\left(\frac{1}{2\sqrt{x}},\;\frac{1}{2\sqrt{y}},\;\frac{1}{2\sqrt{z}}\right).

Passo 4

Avalio o gradiente no ponto (9,4,1). Calculo as raízes:
\sqrt{9}=3,\qquad \sqrt{4}=2,\qquad \sqrt{1}=1.
Substituindo:
\nabla F(9,4,1)=\left(\frac{1}{2\cdot 3},\;\frac{1}{2\cdot 2},\;\frac{1}{2\cdot 1}\right) =\left(\frac{1}{6},\;\frac{1}{4},\;\frac{1}{2}\right).
Esse vetor é normal à superfície em (9,4,1).

Passo 5

Agora escrevo a equação do plano tangente usando a fórmula do produto escalar:
\left(\frac{1}{6},\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)\cdot\bigl(x-9,\;y-4,\;z-1\bigr)=0.
Expandindo:
\frac{1}{6}(x-9)+\frac{1}{4}(y-4)+\frac{1}{2}(z-1)=0.
Para deixar mais limpo, multiplico toda a equação por 12 (mínimo comum múltiplo dos denominadores) e obtenho:
2(x-9)+3(y-4)+6(z-1)=0.
Desenvolvendo e reunindo termos:
2x-18+3y-12+6z-6=0 \quad\Rightarrow\quad 2x+3y+6z-36=0.
Portanto uma forma simples do plano tangente é
2x+3y+6z=36.
Também é possível escrever o plano isolando z:
z=6-\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}y.

Passo 6

Para a reta normal: ela passa por (9,4,1) e tem direção dada por \nabla F(9,4,1). Como a direção pode ser escalada, prefiro usar um vetor inteiro equivalente: multiplicando \nabla F(9,4,1) por 12 obtemos o vetor (2,3,6). Assim a reta normal em forma paramétrica é
(x,y,z)=(9,4,1)+t\,(2,3,6), \qquad t\in\mathbb{R},
ou seja
x=9+2t,\qquad y=4+3t,\qquad z=1+6t.
Forma simétrica equivalente (usando o vetor original também funciona):
\frac{x-9}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-1}{6}.

Passo 7

Verificação rápida (para dar confiança): substituindo (9,4,1) na equação do plano temos 2\cdot9+3\cdot4+6\cdot1=18+12+6=36, então o ponto pertence ao plano obtido. A direção (2,3,6) é paralela a \nabla F(9,4,1), logo é realmente normal à superfície.

Resposta

(a) Plano tangente: 2x+3y+6z=36
(b) Reta normal: x=9+2t,\; y=4+3t,\; z=1+6t,\; t\in\mathbb{R}

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