Nos problemas a seguir, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+6 \frac{d y}{d x}+5 y=0, y(0)=0, \frac{d y}{d x}(0)=3.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 6\,\frac{dy}{dx} + 5\,y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e \frac{dy}{dx}(0)=3.
O conteúdo é a solução de ODE pelo método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica trocando y\mapsto e^{r x}, o que dá
r^{2} + 6r + 5 = 0.
Resolvendo essa equação quadrática, obtemos as raízes
r_{1} = -1 \quad\text{e}\quad r_{2} = -5.

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral da ODE é
y(x) = C_{1}e^{-x} + C_{2}e^{-5x},
onde C_{1} e C_{2}$ são constantes a determinar pelas condições iniciais.ãçõ

Passo 4

Calculamos a derivada
y'(x) = -C_{1}e^{-x} - 5C_{2}e^{-5x}.
Em x=0 temos
y(0) = C_{1} + C_{2} = 0,
y'(0) = -C_{1} - 5C_{2} = 3.
Da primeira igualdade vem C_{2} = -C_{1}. Substituindo na segunda:
-\,C_{1} - 5(-C_{1}) = 3 \;\Longrightarrow\; 4C_{1} = 3 \;\Longrightarrow\; C_{1} = \tfrac{3}{4},
logo C_{2} = -\tfrac{3}{4}.

Passo 5

Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral, obtemos
y(x) = \frac{3}{4}e^{-x} - \frac{3}{4}e^{-5x} = \frac{3}{4}\bigl(e^{-x} - e^{-5x}\bigr).

Resposta

y(x) = \frac{3}{4}\bigl(e^{-x} - e^{-5x}\bigr).

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