Nos problemas a seguir, use coeficientes a determinar para resolver a equação diferencial dada
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições de contorno
O método a usar é o de “coeficientes a determinar”: primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois uma particular polinomial, e enfim ajustamos as constantes pela condição inicial.
Passo 2
Primeiro a parte homogênea satisfaz
A equação característica é
, cujas raízes são
Portanto
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
de forma polinomial de grau 1, isto é
Calculamos
e substituímos em
:
Comparando coeficientes de
e termo constante, vem
Logo
Passo 4
A solução geral é
Derivando,
Passo 5
Impondo as condições de contorno obtemos um sistema para
e
:
- Condição em
:
- Condição em
:
Passo 6
Resolvendo o sistema
fazemos
e substituímos na segunda equação:
Resposta
A solução do problema é
onde