Nos problemas a seguir, use coeficientes a determinar para resolver a equação diferencial dada
y^{\prime \prime}+3 y=6 x, y(0)+y^{\prime}(0)=0, y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y = 6x
sujeita às condições de contorno
y(0) + y'(0) = 0, \quad y(1) = 0.
O método a usar é o de “coeficientes a determinar”: primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois uma particular polinomial, e enfim ajustamos as constantes pela condição inicial.

Passo 2

Primeiro a parte homogênea satisfaz
y_h'' + 3y_h = 0.
A equação característica é r^2 + 3 = 0, cujas raízes são
r = \pm i\sqrt{3}.
Portanto
y_h(x) = A \cos\bigl(\sqrt{3}x\bigr) + B \sin\bigl(\sqrt{3}x\bigr),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p de forma polinomial de grau 1, isto é
y_p(x) = a x + b.
Calculamos
y_p''(x) = 0, \qquad y_p(x) = a x + b
e substituímos em y'' + 3y = 6x:
0 + 3(a x + b) = 6x \;\Longrightarrow\; 3a\,x + 3b = 6x.
Comparando coeficientes de x e termo constante, vem
3a = 6 \quad\Rightarrow\quad a = 2, \qquad 3b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = 0.
Logo
y_p(x) = 2x.

Passo 4

A solução geral é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = A \cos\bigl(\sqrt{3}x\bigr) + B \sin\bigl(\sqrt{3}x\bigr) + 2x.
Derivando,
y'(x) = -A\,\sqrt{3}\,\sin\bigl(\sqrt{3}x\bigr) + B\,\sqrt{3}\,\cos\bigl(\sqrt{3}x\bigr) + 2.

Passo 5

Impondo as condições de contorno obtemos um sistema para A e B:
  1. Condição em x=0:
y(0) + y'(0) = 0 \;\Longrightarrow\; \bigl(A\cdot1 + B\cdot0 + 0\bigr) + \bigl(0 + B\sqrt{3}\cdot1 + 2\bigr) = 0
\Longrightarrow\quad A + B\sqrt{3} + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; A + B\sqrt{3} = -2.
  1. Condição em x=1:
y(1) = 0 \;\Longrightarrow\; A\cos(\sqrt{3}) + B\sin(\sqrt{3}) + 2\cdot1 = 0
\Longrightarrow\quad A\cos(\sqrt{3}) + B\sin(\sqrt{3}) = -2.

Passo 6

Resolvendo o sistema
\begin{cases} A + \sqrt{3}\,B = -2,\\[6pt] A\cos(\sqrt{3}) + B\sin(\sqrt{3}) = -2, \end{cases}
fazemos A = -2 - \sqrt{3}\,B e substituímos na segunda equação:
(-2 - \sqrt{3}B)\cos(\sqrt{3}) + B\sin(\sqrt{3}) = -2 \;\Longrightarrow\; B\bigl(\sin(\sqrt{3}) - \sqrt{3}\cos(\sqrt{3})\bigr) = -2 + 2\cos(\sqrt{3}),
\Longrightarrow\quad B = \frac{-2 + 2\cos(\sqrt{3})}{\sin(\sqrt{3}) - \sqrt{3}\cos(\sqrt{3})} = \frac{2\bigl(\cos(\sqrt{3}) - 1\bigr)}{\sin(\sqrt{3}) - \sqrt{3}\cos(\sqrt{3})},
A = -2 - \sqrt{3}\,B.]

Resposta

A solução do problema é
y(x) = A \cos\bigl(\sqrt{3}x\bigr) + B \sin\bigl(\sqrt{3}x\bigr) + 2x,
onde
B = \frac{2\bigl(\cos(\sqrt{3}) - 1\bigr)}{\sin(\sqrt{3}) - \sqrt{3}\cos(\sqrt{3})}, \qquad A = -2 - \sqrt{3}\,B.

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