1. y^{\prime \prime}+y=0, y^{\prime}(0)=0, y(\pi)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução de uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, isto é,
y'' + y = 0
sujeita às condições de contorno \,y'(0)=0 e y(\pi)=1. Para resolver, vamos (1) determinar a solução geral da equação homogênea usando a equação característica e (2) aplicar as condições de contorno para achar os parâmetros.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à EDO:
r^2 + 1 = 0.
As raízes são r = \pm i. Logo, a solução geral é
y(x) = A\cos(x) + B\sin(x),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Calculamos a derivada e aplicamos y'(0)=0.
y'(x) = -A\sin(x) + B\cos(x),
então
y'(0) = -A\sin(0) + B\cos(0) = B = 0.
Logo, B=0 e a solução reduz-se a
y(x) = A\cos(x).

Passo 4

Aplicamos a condição y(\pi)=1:
y(\pi) = A\cos(\pi) = A\cdot(-1) = 1
de onde se obtém A = -1. Assim,
y(x) = -\cos(x).

Resposta

y(x) = -\cos(x).

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