Questão 4. Determine y^{\prime}, sendo y uma função dada implicitamente pela equação
6 x+\sqrt{x y}-3 y=4

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
6x + \sqrt{xy} - 3y = 4
e pede y'=\frac{dy}{dx}. Para resolver precisamos usar derivação implícita, aplicando regra da cadeia e, no termo \sqrt{xy}, regra do produto.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}(6x)=6.
– Seja u=xy. Então \sqrt{xy}=u^{1/2} e
\frac{d}{dx}\bigl(u^{1/2}\bigr) =\frac{1}{2}u^{-1/2}\,\frac{du}{dx} =\frac{1}{2\sqrt{xy}}\,(y + x\,y').
\frac{d}{dx}(-3y)=-3y'.
O lado direito \frac{d}{dx}(4)=0. Juntando:
6 + \frac{1}{2\sqrt{xy}}\,(y + x\,y') - 3y' = 0.

Passo 3

Multiplicamos por 2\sqrt{xy} para eliminar o denominador:
12\sqrt{xy} + y + x\,y' \;-\;6y'\sqrt{xy} = 0.
Agrupando os termos com y':
x\,y' - 6\sqrt{xy}\,y' = -\,12\sqrt{xy} - y,
y'\,(x - 6\sqrt{xy}) = -\bigl(12\sqrt{xy} + y\bigr).
Logo,
y' = -\frac{12\sqrt{xy} + y}{x - 6\sqrt{xy}}.

Resposta

y' = -\frac{12\sqrt{xy} + y}{x - 6\sqrt{xy}}.

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