Nos problemas a seguir, use separação de variáveis quando apropriado, identifique os autovalores e autofunções, imponha as condições de contorno/iniciais, e escreva a solução como série (seno/cosseno ou exponenciais), indicando explicitamente os coeficientes via ortogonalidade.
3: Considere uma haste fina de comprimento
, cuja superfície lateral perde calor para o meio ambiente, mantido à temperatura nula. Admitindo que a transferência de calor obedece à lei linear de resfriamento de Newton, a equação do calor que descreve a distribuição de temperatura
é dada por
em que
é uma constante positiva que representa o coeficiente de perda de calor lateral. Determine a temperatura
ao longo da haste, sabendo que a temperatura inicial é
e que as extremidades
e
estão isoladas, isto é,
3: Considere uma haste fina de comprimento
Passo 1
O enunciado fornece:\n
com condições de contorno isolantes (Neumann):\n
e condição inicial:\n
O que se pede: determinar explicitamente
para
escrevendo a solução como série em autofunções (seno/cosseno ou exponenciais) e indicar os coeficientes via ortogonalidade.
Passo 2
Ideia do método (separação de variáveis) e substituição.\n
Proponho uma solução separável do tipo \n
Substituindo na equação PDE obtemos\n
Proponho uma solução separável do tipo
Substituindo na equação PDE obtemos\n
Dividindo por
(assumindo
e
não nulas identicamente) temos\n
O lado esquerdo depende só de
e o lado direito só de
; portanto ambos são iguais a uma constante real (constante de separação). Chamemos essa constante de
(escolha de sinal conveniente para obter problemas padrão):\n
Rearranjando obtemos dois ODEs acoplados:\n
As condições de contorno para
são as mesmas de
:\n
Passo 3
Análise do problema de autovalores espacial
com BCs de Neumann.\n
Para simplificar, defino . O problema fica\n
Para simplificar, defino
Estudo os três casos para
:\n
- Caso
. Escreva com . Soluções são combinações exponenciais e . As condições e levam apenas à solução trivial . Logo não interessam autovalores nesse caso.\n - Caso
. Então e . A condição implica , então é constante e satisfaz . Portanto é um autovalor com autofunção constante .\n - Caso
. Escreva com . Soluções são . A condição dá , então . Assim . A condição implica . Para ter precisamos , ou seja com . Como tomamos .\n
Portanto os autovalorese autofunções são\n
Lembrando que
, temos
, isto é\n
Passo 4
Solução temporal para cada autovalor.\n
Para cada a equação temporal é\n
Para cada
É uma ODE linear de primeira ordem com solução exponencial:\n
Substituindo
temos explicitamente para
\n
e para
\n
(because
).
Passo 5
Soma das modos (superposição) e forma geral da solução.\n
Pelo princípio da superposição (linearidade da PDE) a solução geral é a soma dos modos:\n
Pelo princípio da superposição (linearidade da PDE) a solução geral é a soma dos modos:\n
onde
incorpora os constantes
e a normalização de
. Substituindo
e
obtemos\n
Passo 6
Determinação dos coeficientes
pela condição inicial e ortogonalidade.\n
Impondo temos a expansão de Fourier em cossenos (serie de Fourier com Neumann):\n
Impondo
As funções
são ortogonais em
com o produto interno
. As identidades de ortogonalidade úteis são:\n
Para obter
, integro
sobre
:\n
Logo\n
Para
com
, multiplico a expansão por
e integro:\n
Portanto\n
Passo 7
Escrevo a solução final explícita e com os coeficientes indicados.\n
Substituindo os na série obtida no Passo 5, a solução fica\n
Substituindo os
Observações práticas (rápida didática):\n
- O modo
representa a média inicial de temperatura ao longo da haste e decai como devido à perda lateral para o meio. Isso faz sentido físico: mesmo a média tende a zero por resfriamento lateral.\n - Modos com
também decaem exponencialmente, com taxas crescentes em (term ) — modos de alta frequência se apagam mais rápido.\n - Para calcular numericamente os
numa prova sem calculadora, proceda integrando term a termo (se for simples: polinômio, coseno, etc.) ou reconhecendo simetrias pares/ímpares para anular coeficientes.