Resolva o problema de valor inicial, y^prime+5 x^4 y=x^4, onde y(0)=y0.

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial , com a condição inicial . Vamos utilizar os métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação diferencial é linear e pode ser escrita na forma padrão:
y' + P(x) y = Q(x)
onde e .

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante, que é uma função que facilita a resolução da equação diferencial. O fator integrante é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx

Passo 4

Calculando o fator integrante:
mu(x) = e^integral 5x^4 dx = e^x^5

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^x^5 y' + 5x^4 e^x^5 y = x^4 e^x^5
Isso permite escrever o lado esquerdo como a derivada de ddx ( y e^x^5 ) = x^4 e^x^5 :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a y e^x^5 = integral x^4 e^x^5 dx + C :

Passo 7

Calculando a integral do lado direito:
integral x^4 e^x^5 dx = 15 e^x^5 + C

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
y e^x^5 = 15 e^x^5 + C

Passo 9

Dividindo ambos os lados por y = 15 + C e^-x^5 para isolar :

Passo 10

Aplicando a condição inicial y0 = 15 + C e^0 implies C = y0 - 15 :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 15 + (y0 - 15) e^-x^5

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