Resolva o problema de valor inicial,
, onde
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
, com a condição inicial
. Vamos utilizar os métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação diferencial é linear e pode ser escrita na forma padrão:
onde
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante, que é uma função que facilita a resolução da equação diferencial. O fator integrante é dado por:
Passo 4
Calculando o fator integrante:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso permite escrever o lado esquerdo como a derivada de
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Passo 7
Calculando a integral do lado direito:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Passo 9
Dividindo ambos os lados por
para isolar
:
Passo 10
Aplicando a condição inicial
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: