Nos problemas 3 e 4, suponha que uma função y(t) tenha a propriedade y(0)=2 e y^prime(0)=3. Encontre a Transformada de Laplace de y(t), supondo que a função y(t) satisfaça a igualdade indicada.
y^prime prime+2 y^prime+y,

Passo 1

Temos a equação diferencial homogênea
y''(t)+2y'(t)+y(t)=0
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=3. O conteúdo da matéria é Transformada de Laplace de derivadas, e vamos precisar das fórmulas de Ly' e Ly''.

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que
Ly''(t) = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0),
Ly'(t) = sY(s) - y(0),
Ly(t) = Y(s)
Assim, substituindo e usando y(0)=2 e y'(0)=3, obtemos
(s^2Y(s) - 2s - 3) + 2(sY(s) - 2) + Y(s) = 0

Passo 3

Expandindo e agrupando os termos de Y(s) e os termos constantes, temos
s^2Y(s) + 2sY(s) + Y(s) - 2s - 3 - 4 = 0
(s^2 + 2s + 1)Y(s) - (2s + 7) = 0

Passo 4

Isolando Y(s), chega-se a
Y(s) = 2s + 7s^2 + 2s + 1 = 2s + 7(s+1)^2

Resposta

Y(s)=2s+7(s+1)^2

Exercícios relacionados