- Em um procedimento de filtração com um filtro prensa de quadros e placas o tempo total de operação é definido como
. Um filtro em operação apresenta as seguintes funções para o tempo de filtração a pressão constante (
):
e
e
O tempo total para desmontagem e montagem do sistema de filtração é de 1 h e o volume de água de lavagem
. Mostre como determinar o volume de filtrado que deverá ser recolhido para maximizar a produção deste filtro.
O tempo total para desmontagem e montagem do sistema de filtração é de 1 h e o volume de água de lavagem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um procedimento de filtração usando um filtro prensa com quadros e placas. A gente precisa encontrar o volume de filtrado
que maximiza a produção desse filtro. Para isso, vamos trabalhar com tempos de operação que envolvem filtração, lavagem e desmontagem/montagem do sistema. Precisaremos usar as fórmulas dadas para calcular esses tempos e, finalmente, otimizar o volume de filtrado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os componentes do tempo total de operação:
Onde:
-
é o tempo de filtração. -
é o tempo de lavagem. -
é o tempo de desmontagem e montagem do sistema.
Sabemos que
hora, que vamos converter para segundos:
Passo 3
Agora, vamos olhar para as expressões de
e
:
Onde:
-
-
-
(pressão constante) -
(volume de água de lavagem) -
é a pressão de lavagem (não dada, assumimos que é a mesma para simplificar)
Passo 4
Vamos expressar
em termos de
:
Substituindo os valores conocidos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, queremos maximizar a produção, que pode ser entendida como o volume de filtrado por unidade de tempo. Assim, a produção
é:
Para maximizar
, precisamos minimizar
em relação a
, mas nesse caso, como
aumenta com
, a estratégia correta é encontrar o
que oferece o melhor equilíbrio entre volume filtrado e tempo total.
Passo 6
Para otimizar, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Isso implica que:
Portanto:
Passo 7
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Então, substituindo na equação anterior:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo a equação quadrática:
Aqui percebemos um problema: o lado esquerdo é positivo e o direito é negativo, o que não tem solu��ão real. Isso sugere que a otimização pode estar mal formulada. Vamos reconsiderar a abordagem.
Passo 9
Em vez de maximizar
, podemos minimizar o tempo por ciclo para aumentar a produção. Entretanto, devido à complexidade das equações, uma abordagem prática seria utilizar métodos numéricos para encontrar o valor ótimo de
.
Passo 10
Uma alternativa é plotar
em função de
e identificar o ponto máximo. Considerando os termos envolvidos, é provável que haja um valor de
que balanceia o aumento do volume com o aumento do tempo total de operação.
Resposta
Para maximizar a produção do filtro, o volume de filtrado
deve ser ajustado de forma a equilibrar o aumento do volume com o aumento do tempo total de operação. Devido à complexidade das equações envolvidas, recomenda-se utilizar métodos numéricos ou ferramentas de otimização para determinar o valor exato de
que maximiza a produção, considerando os parâmetros fornecidos.