No processamento de açúcar a partir de caldo de cana é usada a operação de decantação para separar as partículas indesejáveis. O processo ocorre a
e o diâmetro das partículas foi obtido experimentalmente, sendo encontrado
e a densidade das partículas é de
. Determine a velocidade terminal dessas partículas considerando escoamento em regime laminar e adote as propriedades da água para o caldo clarificado. Dados:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o processamento de açúcar usando a decantação para separar partículas indesejadas do caldo de cana. A gente precisa determinar a velocidade terminal das partículas nesse processo, considerando que o fluxo está em regime laminar. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a Lei de Stokes, que nos ajuda a calcular a velocidade terminal de partículas em um fluido viscoso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é velocidade terminal. Quando uma partícula cai em um fluido, ela acelera até atingir uma velocidade constante onde a força da gravidade é equilibrada pela força de resistência do fluido. Essa velocidade constante é a velocidade terminal.
Passo 3
A equação que usamos para calcular a velocidade terminal em regime laminar é a Lei de Stokes. A fórmula é:
Onde:
- $ v_t $ é a velocidade terminal
- $ r $ é o raio da partícula
- $ \rho_p $ é a densidade da partícula
- $ \rho_f $ é a densidade do fluido
- $ g $ é a aceleração da gravidade
- $ \mu $ é a viscosidade do fluido
Passo 4
Primeiro, precisamos descobrir o raio das partículas. Na questão, foi dado o diâmetro, mas parece que houve um erro com as unidades. Vamos assumir que o diâmetro correto é $ 2,9 \times 10^{-6} $ metros. Então, o raio $ r $ será metade disso:
Passo 5
Agora, vamos inserir todos os valores na fórmula da Lei de Stokes:
Passo 6
Vamos calcular passo a passo:
- Calculando $ r^2 $:
- Calculando a diferença de densidades $ (\rho_p - \rho_f) $:
- Multiplicando por $ g $:
- Agora, multiplicando todos os termos:
- Dividindo pela viscosidade $ \mu $:
- Finalmente, multiplicando por $ \frac{2}{9} $:
Resposta
A velocidade terminal das partículas é aproximadamente $ 1,06 \times 10^{-6} , m/s $.