No processamento de açúcar a partir de caldo de cana é usada a operação de decantação para separar as partículas indesejáveis. O processo ocorre a 30^circ C e o diâmetro das partículas foi obtido experimentalmente, sendo encontrado 2,9 times 10^6 m^2 e a densidade das partículas é de 1180 kg / m^3. Determine a velocidade terminal dessas partículas considerando escoamento em regime laminar e adote as propriedades da água para o caldo clarificado. Dados: mu=8 times 10^-4 Pa ; rho=995,67 kg / m^3 ; g=9,8 m / s^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o processamento de açúcar usando a decantação para separar partículas indesejadas do caldo de cana. A gente precisa determinar a velocidade terminal das partículas nesse processo, considerando que o fluxo está em regime laminar. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a Lei de Stokes, que nos ajuda a calcular a velocidade terminal de partículas em um fluido viscoso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade terminal. Quando uma partícula cai em um fluido, ela acelera até atingir uma velocidade constante onde a força da gravidade é equilibrada pela força de resistência do fluido. Essa velocidade constante é a velocidade terminal.

Passo 3

A equação que usamos para calcular a velocidade terminal em regime laminar é a Lei de Stokes. A fórmula é:
vt = 29 cdot r^2 cdot (rhop - rhof) cdot gmu
Onde:
  • $ v_t $ é a velocidade terminal
  • $ r $ é o raio da partícula
  • $ \rho_p $ é a densidade da partícula
  • $ \rho_f $ é a densidade do fluido
  • $ g $ é a aceleração da gravidade
  • $ \mu $ é a viscosidade do fluido

Passo 4

Primeiro, precisamos descobrir o raio das partículas. Na questão, foi dado o diâmetro, mas parece que houve um erro com as unidades. Vamos assumir que o diâmetro correto é $ 2,9 \times 10^{-6} $ metros. Então, o raio $ r $ será metade disso:
2,9 times 10^-6

Passo 5

Agora, vamos inserir todos os valores na fórmula da Lei de Stokes:
vt = 29 cdot (1,45 times 10^-6)^2 cdot (1180 - 995,67) cdot 9,88 times 10^-4

Passo 6

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calculando $ r^2 $:
r^2
  1. Calculando a diferença de densidades $ (\rho_p - \rho_f) $:
(1,45 times 10^-6)^2 = 2,1025 times 10^-12 , m^2
  1. Multiplicando por $ g $:
(rhop - rhof)
  1. Agora, multiplicando todos os termos:
1180 , kg/m^3 - 995,67 , kg/m^3 = 184,33 , kg/m^3
  1. Dividindo pela viscosidade $ \mu $:
g
  1. Finalmente, multiplicando por $ \frac{2}{9} $:
184,33 , kg/m^3 times 9,8 , m/s^2 = 1804,17 , kg/(m^2s^2)

Resposta

A velocidade terminal das partículas é aproximadamente $ 1,06 \times 10^{-6} , m/s $.

Exercícios relacionados