Compare a esfericidade de duas partículas de mesmo diâmetro e de mesmo material, sendo, uma esférica e outra cilíndrica. A relação diâmetro/comprimento do cilindro é 1 / 3. Determine o deq da partícula cilíndrica, o deq da partícula esférica e as esfericidades das duas partículas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para comparar a esfericidade de duas partículas que têm o mesmo diâmetro e material. Uma das partículas é esférica e a outra é cilíndrica. A relação entre o diâmetro e o comprimento do cilindro é $ \frac{1}{3} 13 áéâ d_{eq} $) e a esfericidade das partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o diâmetro equivalente ($ d_{eq} $). Esse é o diâmetro de uma esfera que teria o mesmo volume que a partícula em questão. A fórmula para calcular o diâmetro equivalente de uma partícula é:
deq
onde $ V $ é o volume da partícula.

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume da partícula cilíndrica. Sabemos que o volume de um cilindro é dado por:
Vcil = pi r^2 h
Mas como temos relação entre diâmetro ($ D D h $) do cilindro, e $ D = 2r $, podemos reescrever o volume em termos do diâmetro:
h
Dado que $ \frac{D}{h} = \frac{1}{3} $, podemos expressar $ h $ em função de $ D $:
D = 2r
Substituindo isso na fórmula do volume:
Vcil = pi ( D2 )^2 h = pi D^2 h4

Passo 4

Vamos agora calcular o diâmetro equivalente da partícula cilíndrica usando a fórmula do $ d_{eq} $:
deq
Calculando $ \left( \frac{9}{2} \right)^{\frac{1}{3}} $:
deq, cil = ( 6Vcilpi )^13 = ( 6 cdot 3pi D^34pi )^13 = ( 18 D^34 )^13 = ( 9 D^32 )^13 = D ( 92 )^13
Portanto:
( 92 )^13

Passo 5

Para a partícula esférica, o diâmetro equivalente é o próprio diâmetro da esfera, já que ela é a forma de referência. Ou seja:
deq, esférica = D é

Passo 6

Agora, vamos definir a esfericidade ($ \phi $). A esfericidade é uma medida de quão próxima uma partícula está de ser uma esfera. Ela é definida como:
phi
onde $ d $ é o diâmetro real da partícula.

Passo 7

Vamos calcular a esfericidade da partícula cilíndrica:
phicil = deq, cilD approx 1,65DD = 1,65
Isso significa que, em termos de diâmetro equivalente, o cilindro é 1,65 vezes mais “effectivamente largo” que sua medida real de diâmetro.

Passo 8

Para a partícula esférica, já que $ d_{eq, esférica} = D $:
deq, esférica = D éé
Isso confirma que a esfera tem a máxima esfericidade possível.

Resposta

O diâmetro equivalente da partícula cilíndrica é aproximadamente $ 1,65D $, o diâmetro equivalente da partícula esférica é $ D $ e as esfericidades são $ \phi_{cil} \approx 1,65 $ para o cilindro e $ \phi_{esférica} = 1 $ para a esfera.

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