Compare a esfericidade de duas partículas de mesmo diâmetro e de mesmo material, sendo, uma esférica e outra cilíndrica. A relação diâmetro/comprimento do cilindro é
. Determine o
partícula cilíndrica, o
da partícula esférica e as esfericidades das duas partículas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para comparar a esfericidade de duas partículas que têm o mesmo diâmetro e material. Uma das partículas é esférica e a outra é cilíndrica. A relação entre o diâmetro e o comprimento do cilindro é $ \frac{1}{3}
d_{eq} $) e a esfericidade das partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o diâmetro equivalente ($ d_{eq} $). Esse é o diâmetro de uma esfera que teria o mesmo volume que a partícula em questão. A fórmula para calcular o diâmetro equivalente de uma partícula é:
onde $ V $ é o volume da partícula.
Passo 3
Agora, vamos calcular o volume da partícula cilíndrica. Sabemos que o volume de um cilindro é dado por:
Mas como temos relação entre diâmetro ($ D
h $) do cilindro, e $ D = 2r $, podemos reescrever o volume em termos do diâmetro:
Dado que $ \frac{D}{h} = \frac{1}{3} $, podemos expressar $ h $ em função de $ D $:
Substituindo isso na fórmula do volume:
Passo 4
Vamos agora calcular o diâmetro equivalente da partícula cilíndrica usando a fórmula do $ d_{eq} $:
Calculando $ \left( \frac{9}{2} \right)^{\frac{1}{3}} $:
Portanto:
Passo 5
Para a partícula esférica, o diâmetro equivalente é o próprio diâmetro da esfera, já que ela é a forma de referência. Ou seja:
Passo 6
Agora, vamos definir a esfericidade ($ \phi $). A esfericidade é uma medida de quão próxima uma partícula está de ser uma esfera. Ela é definida como:
onde $ d $ é o diâmetro real da partícula.
Passo 7
Vamos calcular a esfericidade da partícula cilíndrica:
Isso significa que, em termos de diâmetro equivalente, o cilindro é 1,65 vezes mais “effectivamente largo” que sua medida real de diâmetro.
Passo 8
Para a partícula esférica, já que $ d_{eq, esférica} = D $:
Isso confirma que a esfera tem a máxima esfericidade possível.
Resposta
O diâmetro equivalente da partícula cilíndrica é aproximadamente $ 1,65D $, o diâmetro equivalente da partícula esférica é $ D $ e as esfericidades são $ \phi_{cil} \approx 1,65 $ para o cilindro e $ \phi_{esférica} = 1 $ para a esfera.