Calcule a esfericidade de uma casca cilíndrica cujas especificações são: Raio externo ( R ext =5 m ), Raio interno ( R int =2,5 m ) e Altura (H) de 4 m . Em seguida, com as mesmas especificações, calcule a área específica em volume dessa casca cilíndrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai calcular a esfericidade de uma casca cilíndrica com as seguintes medidas: raio externo ( Rext = 5,m), raio interno ( Rint = 2,5,m) e altura ( H = 4,m). Depois, vamos calcular a área específica em volume dessa mesma casca. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de volume e área de superfícies de cilindros, além da definição de esfericidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume da casca cilíndrica. Uma casca cilíndrica é basicamente um cilindro com outro cilindro menor “cortado” do meio. A fórmula para o volume ( V) de uma casca cilíndrica é:
V = pi times H times ( Rext^2 - Rint^2 )
Isso significa que a gente calcula o volume do cilindro externo e subtrai o volume do cilindro interno.

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
V = pi times 4,m times ( 5^2 - 2,5^2 )
Calculando os quadrados:
5^2 = 25 e 2,5^2 = 6,25
Então:
V = pi times 4,m times (25 - 6,25) = pi times 4,m times 18,75 = pi times 75,m^3
Portanto:
V = 75,pi,m^3 approx 235,62,m^3

Passo 4

Agora, vamos calcular a área de superfície ( S) da casca cilíndrica. A área total inclui três partes:
  1. Área lateral externa: 2pi Rext times H
  2. Área lateral interna: 2pi Rint times H
  3. Área das duas bases (cada uma é uma anel): 2pi ( Rext^2 - Rint^2 )
Então, a fórmula completa é:
S = 2pi Rext H + 2pi Rint H + 2pi ( Rext^2 - Rint^2 )

Passo 5

Substituindo os valores:
S = 2pi times 5,m times 4,m + 2pi times 2,5,m times 4,m + 2pi ( 5^2 - 2,5^2 )
Calculando cada termo:
  1. 2pi times 5 times 4 = 40pi,m^2
  2. 2pi times 2,5 times 4 = 20pi,m^2
  3. 2pi times (25 - 6,25) = 2pi times 18,75 = 37,5pi,m^2
Somando tudo:
S = 40pi + 20pi + 37,5pi = 97,5pi,m^2 approx 306,8,m^2

Passo 6

Agora vamos calcular a esfericidade ( Psi). A esfericidade é uma medida que compara a forma de um objeto com a de uma esfera perfeita. A fórmula para esfericidade é:
Psi = pi^1/3 times (6V)^2/3S
Onde:
  • V é o volume
  • S é a área de superfície

Passo 7

Substituindo os valores que calculamos:
Psi = pi^1/3 times (6 times 75pi)^2/397,5pi
Primeiro, simplificamos dentro do parênteses:
6 times 75pi = 450pi
Então:
Psi = pi^1/3 times (450pi)^2/397,5pi
Simplificando potenciações:
(450pi)^2/3 = 450^2/3 times pi^2/3
Portanto:
Psi = pi^1/3 times 450^2/3 times pi^2/397,5pi = 450^2/3 times pi^1/3 + 2/397,5pi = 450^2/3 times pi97,5pi = 450^2/397,5
Calculando 450^2/3:
Primeiro, 450^1/3 approx 7,66
Então, 7,66^2 approx 58,66
Portanto:
Psi approx 58,6697,5 approx 0,602

Passo 8

Agora, vamos calcular a área específica em volume ( av), que é a área de superfície por unidade de volume. A fórmula é:
av = SV
Substituindo os valores:
av = 97,5pi,m^275pi,m^3 = 97,575 = 1,3,m^-1

Resposta

A esfericidade da casca cilíndrica é aproximadamente 0,602 e a área específica em volume é 1,3 m⁻¹.

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