Processe um programa para determinar o valor de x para o qual y=e^{-x} \log (x) tem um ponto de inflexão:
(ii) aplicando o método secante. Considere uma tolerância \varepsilon \leq 0.5 \times 10^{-3}.

Passo 1

O enunciado pede o ponto de inflexão de y=e^{-x}\ln(x). Um ponto de inflexão ocorre quando a segunda derivada y''(x) muda de sinal, ou seja, quando
y''(x)=0.
Para encontrar essa raiz usaremos o método da secante com tolerância \varepsilon = 0,5\times10^{-3}.

Passo 2

Vamos derivar duas vezes y(x)=e^{-x}\ln(x). Primeiro, usando produto e cadeia:
y'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr)\ln(x)+e^{-x}\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr) =-e^{-x}\ln(x)+e^{-x}\frac{1}{x} =e^{-x}\Bigl(\frac{1}{x}-\ln(x)\Bigr).
Agora derivamos novamente:
y''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl[e^{-x}\bigl(\tfrac{1}{x}-\ln(x)\bigr)\Bigr] =e^{-x}\Bigl[-\Bigl(\tfrac{1}{x}-\ln(x)\Bigr)-\Bigl(\tfrac{1}{x^2}+\tfrac{1}{x}\Bigr)\Bigr] =e^{-x}\Bigl(\ln(x)-\tfrac{2}{x}-\tfrac{1}{x^2}\Bigr).

Passo 3

A condição y''(x)=0 é equivalente a
f(x)=\ln(x)-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}=0,\quad x>0.
Escolhemos palpites iniciais onde f muda de sinal, por exemplo \;x_0=2 (com f(2)\approx-0,557) e \;x_1=3 (com f(3)\approx0,321).

Passo 4

A fórmula do método da secante é
x_{n+1} =x_n-\;f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
Pararemos quando \bigl|x_{n+1}-x_n\bigr|<\varepsilon.

Passo 5

Aplicando as iterações:
1ª iteração n=1:
x_2 =3-\;0{,}321\;\frac{3-2}{0{,}321-(-0{,}557)} \approx2{,}6344, \quad|x_2-x_1|=0{,}3656.
2ª iteração n=2:
x_3 =2{,}6344-\;0{,}0650\;\frac{2{,}6344-3}{0{,}0650-0{,}321}} \approx2{,}5416, \quad|x_3-x_2|=0{,}0928.
3ª iteração n=3:
x_4 =2{,}5416-(-0{,}0083)\;\frac{2{,}5416-2{,}6344}{-0{,}0083-0{,}0650}} \approx2{,}5521, \quad|x_4-x_3|=0{,}0105.
4ª iteração n=4:
x_5 =2{,}5521-(-0{,}0008)\;\frac{2{,}5521-2{,}5416}{-0{,}0008-(-0{,}0083)}} \approx2{,}55211, \quad|x_5-x_4|=0{,}00001<\varepsilon.
Como a diferença ficou menor que 0{,}0005, encerramos o processo.

Resposta

O valor de x para o ponto de inflexão é aproximadamente
x\approx2{,}5521.

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