Aplique o método secante para encontrar uma aproximação de \sqrt{2} partindo de x_{o}= 0, x_{1}=1 com tolerância \varepsilon=0.0001.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \sqrt{2} usando o método da secante aplicado à função
f(x)=x^2-2,
com condições iniciais x_0=0, x_1=1 e tolerância \varepsilon=0{,}0001. Vamos usar a fórmula da secante e iterar até \lvert x_{k+1}-x_k\rvert<\varepsilon.

Passo 2

A fórmula geral do método da secante é
x_{k+1} = x_k - f(x_k)\,\frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}.
Para cada iteração, calculamos f(x_{k-1}), f(x_k) e então x_{k+1}.

Passo 3

k =1\to calcular x_2:
f(x_0)=f(0)=0^2-2=-2,\quad f(x_1)=f(1)=1^2-2=-1,
x_2 = 1 - (-1)\,\frac{1-0}{-1-(-2)} = 1 + \frac{1}{1} = 2.
Diferença \lvert x_2-x_1\rvert=|2-1|=1> \varepsilon.

Passo 4

k =2\to calcular x_3:
f(x_2)=f(2)=2^2-2=2,
x_3 = 2 - 2\,\frac{2-1}{2-(-1)} = 2 - \frac{2}{3} = 1{,}3333333.
Diferença \lvert x_3-x_2\rvert\approx0{,}6667> \varepsilon.

Passo 5

k =3\to calcular x_4:
f(x_3)=1{,}3333333^2-2=-0{,}2222222,
x_4 = 1{,}3333333 - (-0{,}2222222)\,\frac{1{,}3333333-2}{-0{,}2222222-2} = 1{,}4.
Diferença \lvert x_4-x_3\rvert\approx0{,}0667> \varepsilon.

Passo 6

k =4\to calcular x_5:
f(x_4)=1{,}4^2-2=-0{,}04,
x_5 = 1{,}4 - (-0{,}04)\,\frac{1{,}4-1{,}3333333}{-0{,}04-(-0{,}2222222)} \approx1{,}4146296.
Diferença \lvert x_5-x_4\rvert\approx0{,}01463> \varepsilon.

Passo 7

k =5\to calcular x_6:
f(x_5)\approx1{,}4146296^2-2\approx0{,}00184,
x_6 = 1{,}4146296 - 0{,}00184\,\frac{1{,}4146296-1{,}4}{0{,}00184-(-0{,}04)} \approx1{,}4139860.
Diferença \lvert x_6-x_5\rvert\approx0{,}0006438> \varepsilon.

Passo 8

k =6\to calcular x_7:
f(x_6)\approx1{,}4139860^2-2\approx-0{,}0006436,
x_7 = 1{,}4139860 - (-0{,}0006436)\,\frac{1{,}4139860-1{,}4146296}{-0{,}0006436-0{,}00184} \approx1{,}4140002.
Diferença \lvert x_7-x_6\rvert\approx1{,}7\times10^{-7}<\varepsilon, então paramos.

Resposta

A aproximação de \sqrt{2} obtida é
x_7\approx1{,}4140002.

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