Um processo de conservação de alimentos em determinado sistema de produção industrial tem um risco de 0,02 de não atender as exigências de qualidade. Suponha que três lotes independentes produzidos nesse sistema sejam avaliados pela inspeção de qualidade. Seja X a v.a. dos lotes que são aprovados na inspeção de qualidade. Determine a função de probabilidade de X.
A= aprova \rightarrow P(A)=0,98
\mathrm{A}^{\mathrm{c}}= não aprova \rightarrow \mathrm{P}(\mathrm{Ac})=0,02
Resultados Probabilidades
\left(A^{c}, A^{c}, A^{c}\right) \left(0,02^{3}\right) P(x=0)=0,000008
\left(A, A^{c}, A^{c}\right) \left(A^{c}, A, A^{c}\right) \left(A^{c}, A^{c}, A\right) 3\left(0,02^{2} \times 0,98\right) P(x=1)=0,001176
\left(A, A, A^{c}\right) \left(A, A^{c}, A\right) \left(A^{c}, A, A\right) 3\left(0,02 \times 0,98^{2}\right) P(x=2)=0,057624
(A, A, A) \left(0,98^{3}\right) P(x=3)=0,941192
Resp.; \mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=0,000008 ; \mathrm{P}(\mathrm{X}=1)=0,001176 ; \mathrm{P}(\mathrm{X}=2)=0,057624 ; \mathrm{P}(\mathrm{X}=3)=0,941192

Passo 1

O enunciado nos diz que há três lotes independentes, cada um com probabilidade de aprovação p=0,98 (e de rejeição q=0,02). Definimos X como o número de lotes aprovados. Como temos ensaios de Bernoulli independentes e iguais, X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=3 e p=0,98.

Passo 2

Na distribuição binomial, a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n ensaios é dada por
P(X=k) \;=\;\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Aqui, n=3, p=0,98 e 1-p=0,02.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
P(X=k) \;=\;\binom{3}{k}\,(0,98)^{k}\,(0,02)^{3-k}, \quad k=0,1,2,3.

Passo 4

Para k=0:
P(X=0) \;=\;\binom{3}{0}\,(0,98)^{0}\,(0,02)^{3} \;=\;1\;\times1\;\times(0,02)^{3} \;=\;0,000008.

Passo 5

Para k=1 e k=2:
P(X=1) = \binom{3}{1}\,(0,98)^{1}\,(0,02)^{2} =3\times0,98\times(0,02)^{2} =0,001176,
P(X=2) = \binom{3}{2}\,(0,98)^{2}\,(0,02)^{1} =3\times(0,98)^{2}\times0,02 =0,057624.

Passo 6

Para k=3:
P(X=3) = \binom{3}{3}\,(0,98)^{3}\,(0,02)^{0} =1\times(0,98)^{3}\times1 =0,941192.

Resposta

P(X=0)=0,000008 P(X=1)=0,001176 P(X=2)=0,057624 P(X=3)=0,941192

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