Em um processo de avaliação de desempenho de sistemas acústicos, três sistemas são testados. Cada sistema é classificado como aprovado ou reprovado. Suponha que a probabilidade de um sistema ser aprovado no teste seja de 0,8 e que os sistemas sejam independentes.
(a) Qual é a probabilidade de que todos os três sistemas passem no teste?
(b) Determine a função de probabilidade do número de sistemas aprovados.
A = aprovado
P(A)=0,8
R = reprovado
P(R)=0,2
Resultados Probabilidades
(A, A, A) \left(0,8^{3}\right) P(X=3)=0,512
(A, A, R)(A, R, A)(R, A, A) 3\left(0,8^{2} \cdot 0,2\right) P(X=2)=0,384
(A, R, R)(R, A, R)(R, R, A) 3\left(0,8 \cdot 0,2^{2}\right) P(X=1)=0,096
(R, R, R) \left(0,2^{3}\right) P(X=0)=0,008
Resp.: a) 0,512
b) \mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=0,008 ; \mathrm{P}(\mathrm{X}=1)=0,096 ; \mathrm{P}(\mathrm{X}=2)=0,384 ; \mathrm{P}(\mathrm{X}=3)=0,512

Passo 1

O enunciado diz que temos três sistemas independentes, cada um aprovado com probabilidade 0,8 e reprovado com probabilidade 0,2. Definimos a variável aleatória X como o número de sistemas aprovados. Vamos usar o modelo de distribuição binomial para resolver:
– Parte (a): calcular P(X=3).
– Parte (b): obter a função de probabilidade de X.

Passo 2

Reconhecemos que X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=3 (número de ensaios) e p=0,8 (probabilidade de sucesso em cada ensaio). A fórmula geral do pmf binomial é
P(X=k)=\binom{3}{k}\,(0,8)^{k}\,(0,2)^{3-k},\quad k=0,1,2,3.

Passo 3

Para a parte (a), queremos que todos os três sistemas sejam aprovados, ou seja, k=3. Aplicando a fórmula:
P(X=3)=\binom{3}{3}\,(0,8)^{3}\,(0,2)^{0}=(1)\times0,8^{3}\times1=0,8^{3}=0,512.

Passo 4

Para a parte (b), basta avaliar a expressão geral para cada k:
k=0:
P(X=0)=\binom{3}{0}\,(0,8)^{0}\,(0,2)^{3}=1\times1\times0,2^{3}=0,008.
k=1:
P(X=1)=\binom{3}{1}\,(0,8)^{1}\,(0,2)^{2}=3\times0,8\times0,04=0,096.
k=2:
P(X=2)=\binom{3}{2}\,(0,8)^{2}\,(0,2)^{1}=3\times0,64\times0,2=0,384.
k=3: já calculado acima, P(X=3)=0,512.

Resposta

(a) 0,512
(b) P(X=0)=0,008 P(X=1)=0,096 P(X=2)=0,384 P(X=3)=0,512

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