Um arranjo de segurança consiste em três sistemas contra incêndio. Suponha que as probabilidades do primeiro, do segundo e do terceiro sistema atenderem as especificações sejam iguais a 0, 95 ; 0,98 e 0,99 . Considere que os sistemas sejam independentes.
(a) Qual é a probabilidade de que todos os sistemas em um arranjo atendam as especificações?
(b) Determine a função de probabilidade do número de sistemas no arranjo que satisfaçam as especificações.
P = primeiro atende as especificações
\mathrm{P}^{\mathrm{c}}= primeiro não atende as especificações
\mathrm{S}= segundo atende as especificações
\mathrm{S}^{c} = segundo não atende as especificações
T= terceiro atende as especificações
\mathrm{T}^{\mathrm{c}}= terceiro não atende as especificações
P(P)=0,95
P\left(P^{c}\right)=0,05
\mathrm{P}(\mathrm{S})=0,98
\mathrm{P}\left(\mathrm{S}^{c}\right)=0,02
\mathrm{P}(\mathrm{T})=0,99
\mathrm{P}\left(\mathrm{T}^{\mathrm{c}}\right)=0,01
Resultados Probabilidades
(P, S, T) (0,95 . 0,98 . 0,99) \mathrm{P}(\mathrm{X}=3)=0,92169
( \left.\mathrm{P}^{\mathrm{c}}, \mathrm{S}, \mathrm{T}\right)\left(\mathrm{P}, \mathrm{S}^{\mathrm{c}}, \mathrm{T}\right)\left(\mathrm{P}, \mathrm{S}, \mathrm{T}^{\mathrm{c}}\right) (0,05 . 0,98 . 0,99) + (0,95 . 0,02 . 0,99) + (0,95 . 0,98 . 0,01) \mathrm{P}(\mathrm{X}=2)=0,07663
( \mathrm{P}, \mathrm{S}^{\mathrm{c}}, \mathrm{T}^{\mathrm{c}} ) ( \mathrm{P}^{\mathrm{c}}, \mathrm{S}, \mathrm{T}^{\mathrm{c}} ) ( \mathrm{P}^{\mathrm{c}}, \mathrm{S}^{\mathrm{c}}, \mathrm{T} ) (0,95 . 0,02 . 0,01) + (0,05 . 0,98 . 0,01) + (0,05 . 0,02 . 0,99) \mathrm{P}(\mathrm{X}=1)=0,00167
( \mathrm{P}^{\mathrm{c}}, \mathrm{S}^{\mathrm{c}}, \mathrm{T}^{\mathrm{c}} ) (0,05 . 0,02 . 0,01) \mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=0,00001

  1. Resp.: a) 0,92169 b) \mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=0,00001 ; \mathrm{P}(\mathrm{X}=1)=0,00167 ; \mathrm{P}(\mathrm{X}=2)=0,07663 ; \mathrm{P}(\mathrm{X}=3)=0,92169

Passo 1

O enunciado trata de três sistemas independentes cujas probabilidades de atender as especificações são \;0,95, \;0,98 e \;0,99. Precisamos de (a) usar a independência para achar a probabilidade de todos atenderem; (b) determinar a função de probabilidade de X, o número de sistemas que atendem, somando produtos de probabilidades nos casos possíveis.

Passo 2

Para calcular a probabilidade de todos os três sistemas atenderem, aplicamos o princípio da independência, que diz que
P(\text{todos}) \;=\; P(P)\,\cdot P(S)\,\cdot P(T).
Substituindo os valores:
P(X=3)=0,95\cdot0,98\cdot0,99=0,92169.

Passo 3

Para X=0 (nenhum sistema atende) e X=3 (todos atendem) temos casos com produto de três probabilidades de insucesso ou de sucesso. Já calculamos P(X=3). Para X=0:
P(X=0)=P(P^c)\,\cdot P(S^c)\,\cdot P(T^c) =0,05\cdot0,02\cdot0,01=0,00001.

Passo 4

Para X=1 (exatamente um atende) somamos os três cenários em que um sistema funciona e os outros dois falham:
P(X=1)=0,95\cdot0,02\cdot0,01 +0,05\cdot0,98\cdot0,01 +0,05\cdot0,02\cdot0,99 =0,00167.

Passo 5

Para X=2 (exatamente dois atendem) somamos os três cenários em que dois sistemas funcionam e um falha:
P(X=2)=0,05\cdot0,98\cdot0,99 +0,95\cdot0,02\cdot0,99 +0,95\cdot0,98\cdot0,01 =0,07663.

Resposta

a) 0,92169
b) P(X=0)=0,00001 P(X=1)=0,00167 P(X=2)=0,07663 P(X=3)=0,92169

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