Um arranjo de segurança consiste em três sistemas contra incêndio. Suponha que as probabilidades do primeiro, do segundo e do terceiro sistema atenderem as especificações sejam iguais a 0,
e 0,99 . Considere que os sistemas sejam independentes.
(a) Qual é a probabilidade de que todos os sistemas em um arranjo atendam as especificações?
(b) Determine a função de probabilidade do número de sistemas no arranjo que satisfaçam as especificações.
P = primeiro atende as especificações
primeiro não atende as especificações
segundo atende as especificações
= segundo não atende as especificações
terceiro atende as especificações
terceiro não atende as especificações
Resultados
Probabilidades
(P, S, T)
(0,95 . 0,98 . 0,99)
(
(0,05 . 0,98 . 0,99) + (0,95 . 0,02 . 0,99) + (0,95 . 0,98 . 0,01)
(
) (
) (
)
(0,95 . 0,02 . 0,01) + (0,05 . 0,98 . 0,01) + (0,05 . 0,02 . 0,99)
(
)
(0,05 . 0,02 . 0,01)
- Resp.: a) 0,92169 b)
(a) Qual é a probabilidade de que todos os sistemas em um arranjo atendam as especificações?
(b) Determine a função de probabilidade do número de sistemas no arranjo que satisfaçam as especificações.
| Resultados | Probabilidades | |
| (P, S, T) | (0,95 . 0,98 . 0,99) |
|
| (
|
(0,05 . 0,98 . 0,99) + (0,95 . 0,02 . 0,99) + (0,95 . 0,98 . 0,01) |
|
| (
|
(0,95 . 0,02 . 0,01) + (0,05 . 0,98 . 0,01) + (0,05 . 0,02 . 0,99) |
|
| (
|
(0,05 . 0,02 . 0,01) |
|
- Resp.: a) 0,92169 b)
Passo 1
O enunciado trata de três sistemas independentes cujas probabilidades de atender as especificações são
,
e
. Precisamos de (a) usar a independência para achar a probabilidade de todos atenderem; (b) determinar a função de probabilidade de
, o número de sistemas que atendem, somando produtos de probabilidades nos casos possíveis.
Passo 2
Para calcular a probabilidade de todos os três sistemas atenderem, aplicamos o princípio da independência, que diz que
Substituindo os valores:
Passo 3
Para
(nenhum sistema atende) e
(todos atendem) temos casos com produto de três probabilidades de insucesso ou de sucesso. Já calculamos
. Para
:
Passo 4
Para
(exatamente um atende) somamos os três cenários em que um sistema funciona e os outros dois falham:
Passo 5
Para
(exatamente dois atendem) somamos os três cenários em que dois sistemas funcionam e um falha:
Resposta
a)
b)