Se o processo de contagem N(t) ; t >= 0 é um processo de Poisson com taxa lambda=15. Calcule P[N(6)=9, N(20)=13, N(56)=27].

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um processo de Poisson Pl(N(6)=9,;N(20)=13,;N(56)=27r) com taxa . Precisamos calcular a probabilidade conjunta
O conteúdo envolvido é:
  • Processo de Poisson com incrementos independentes e estacionários.
  • Fato de que, pra qualquer , o número de chegadas entre e , ou seja , é .
  • Regra do produto de probabilidades quando os incrementos são independentes.

Passo 2

Como os incrementos são independentes, a gente desmembra o evento em três partes:
  1. Pl(N(6)=9,;N(20)=13,;N(56)=27r) = P(N(6)=9);times;Pl(N(20)-N(6)=4r);times;Pl(N(56)-N(20)=14r) .
  2. .
  3. .
    Então

Passo 3

Lembra que, se , então
Aqui temos:
  • , ou seja P(X=k)=e^-mu,mu^kk! .
  • , ou seja P(N(6)=9) = e^-15cdot6,(15cdot6)^99!, .
  • , ou seja P(N(20)-N(6)=4) = e^-15cdot14,(15cdot14)^44!, .
Então cada pedaço é:

Passo 4

Agora é só multiplicar tudo:
Como P(N(6)=9,;N(20)=13,;N(56)=27) = e^-15cdot6,(15cdot6)^99! ; times; e^-15cdot14,(15cdot14)^44! ; times; e^-15cdot36,(15cdot36)^1414! , dá pra juntar os exponenciais:
= e^-15cdot56,(15cdot6)^9,(15cdot14)^4,(15cdot36)^149!,4!,14!

Resposta

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