Se o processo de contagem N(t) ; t >= 0 é um processo de Poisson com taxa lambda=15. Calcule Var[5 N(6)-2 N(20)].

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos um processo de Poisson Varl[,5,N(6) ;-; 2,N(20)r] com taxa Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) + 2ab,Cov(X,Y) . A gente precisa encontrar
O conteúdo envolvido é teoria de processos de Poisson – em especial, as fórmulas de variância e covariância desses contadores. Para resolver, vamos precisar lembrar que, para um processo de Poisson com taxa :
  1. .
  2. .
  3. E a regra geral de variância de combinação linear:

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula de variância de combinação linear que a gente vai usar:
Observe o sinal de cada termo: o coeficiente de Varl(5,N(6) - 2,N(20)r) = 5^2,Varl(N(6)r) + (-2)^2,Varl(N(20)r) + 2,(5),(-2),Covl(N(6),N(20)r) é , então aparece e também um no termo de covariância.

Passo 3

Agora, aplicamos as propriedades do processo de Poisson:
Substituindo na fórmula do Passo 2:

Passo 4

Basta calcular cada termo numérico:
  • 2250 + 1200 - 1800 = 1650
Somando tudo:

Resposta

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