Se o processo de contagem N(t) ; t >= 0 é um processo de Poisson com taxa lambda=15. Calcule E[5 N(6)-2 N(20)].

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é bem direta: a gente tem um processo de Poisson El[,5,N(6) ;-; 2,N(20)r] com taxa E[N(t)] = lambda,t . O que a questão pede é
E[aX + bY] = a,E[X] + b,E[Y]
Conteúdo que vamos usar:
  1. Em um processo de Poisson a gente sabe que
  1. Propriedade de linearidade da esperança:

Passo 2

Primeiro, lembrando da expectativa de Poisson:
E[N(t)] = lambda,t
Isso vem do fato de que, em média, um processo de Poisson com taxa gera eventos por unidade de tempo, então em unidades espera-se .

Passo 3

Agora aplicamos a linearidade da esperança. Queremos
E[5,N(6) - 2,N(20)] = 5,E[N(6)] ;-; 2,E[N(20)]
Não tem mistério: a esperança de uma combinação linear é a combinação linear das esperanças.

Passo 4

Substituindo E[N(6)] = 15 times 6 = 90, E[N(20)] = 15 times 20 = 300 :
5,E[N(6)] = 5 times 90 = 450, 2,E[N(20)] = 2 times 300 = 600
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Resposta

E[5,N(6) - 2,N(20)] = 450 ;-; 600 = -150

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